Göm meny

TATA40 Matematiska utblickar: Program läsåret 2018/19

Varje utblick ingår i ett eller flera av följande tre teman, som framgår av programmet nedan:

M: Matematisk breddning och/eller fördjupning.
H: Matematikens historia.
T: Matematikens användning inom teknik och naturvetenskap.

Fö 1: torsdag 20 sept 2018 kl. 10–12, sal C1

Hans Lundmark, MAI
Jongleringsteori [M]

Vi roar oss med att utforska den matematiska teoring för jonglering!

Fö 2: torsdag 27 sept 2018 kl. 10–12, sal C1

Hans Lundmark, MAI
Några berömda tidiga 1800-talsmatematiker [H]

I denna föreläsning kommer vi att bekanta oss med ett urval av kända matematiker verksamma under första hälften av 1800-talet (Gauss, Cauchy, Abel, Galois, Riemann, m.fl.). Det blir lite blandat smått och gott om deras liv och matematiska upptäckter.

Fö 3: torsdag 4 okt 2018 kl. 10–12, sal C1

Jana Björn, MAI
Kardinalitet och oändliga mängder [M]

Vi skall jämföra antalet element i oändliga mängder, definiera vad det betyder att två mängder har lika många element och gå igenom begreppen uppräknelig och överuppräknelig mängd. Föreläsningen kommer att innehålla både grundläggande teori (som tidigare ingick i en kurs i Diskret matematik) och exempel med tillämpningar.

Litteratur: A. Björn, B. O. Turesson, Diskret matematik (Kap. 10), kompendium, Linköping 2001.

Fö 4: torsdag 11 okt 2018 kl. 10–12, sal C1

Vladimir Tkatjev, MAI
Från Cardanos formel till monstergruppen [HM]

Lösningen till en andragradsekvation (p-q-formeln) har varit känd redan sedan 1000 f.Kr. och lösningen av tredjegradsekvationen blev ett dramatiskt ögonblick i matematikhistorien på 1500-talet. 1824 visade Niels Henrik Abel att den allmänna ekvationen av grad 5 inte kan lösas med rotutdragningar och rationella operationer. 1981 skapade den amerikanske matematikern Robert Griess "Monstret", den största och kanske märkligaste av de så kallade sporadiska grupperna.

Jag kommer att berätta hur dessa historier hänger ihop och vad de betyder för den moderna matematiken.

Fö 5: torsdag 15 nov 2018 kl. 10–12, sal Planck

Magnus Herberthson, MAI
Introduktion till den speciella relativitetsteorin [T]

Einsteins speciella relativitetsteori från 1905 är ett specialfall av den allmänna relativitetsteorin (1915) på så sätt att att man bortser från rummets krökning. I och med det kan universum beskrivas med hjälp av ett vektorrum, det så kallade Minkowskirummet. Vi skall se hur det enda antagandet att ljushastigheten, c, är densamma för alla observatörer leder till begrepp som längdkontraktion och tidsdilatation.

Fö 6: torsdag 22 nov 2018 kl. 10–12, sal A2

Carl Johan Casselgren, MAI
Graffärgning och skolscheman utan håltimmar [M]

I denna föreläsning ges en introduktion till den matematiska teorin för graffärgningar. Vi ska titta på några enkla modeller för graffärgning och se hur dessa kan användas för att lösa olika schemaläggningsproblem. Speciellt ska vi undersöka problemet att konstruera skolscheman utan håltimmar.

Fö 7: torsdag 6 dec 2018 kl. 10–12, sal C4

Erik G. Larsson, Kommunikationssystem, ISY
Google PageRank för rankning av sökresultat på webben: Hur funkar det? [T]

I denna föreläsning kommer jag förklara hur Googles algorithm "PageRank" för rankning av sökresultat på webben fungerar, och vilken underliggande matematik som denna algoritm bygger på.

Förkunskaper: grundläggande linjär algebra; matris-multiplikation; egenvärden och egenvektorer till en matris.

Fö 8: torsdag 13 dec 2018 kl. 15–17 (observera tiden!), sal C2

Torkel Glad, Reglerteknik, ISY
Hur flygplan flyger: egenvärden och egenvektorer [T]

Dynamiska system, t.ex. flygplan, beskrivs av differentialekvationer. I idealiserade fall är dessa linjära, och differentialekvationernas koefficienter kan "paketeras" i matriser. Det visar sig att egenvärdena och egenvektorerna till dessa matriser ger en god bild av beteendet. Detta är speciellt intressant om man inte är nöjd med beteendet utan vill förbättra det med ett styrsystem. Detta är i hög grad aktuellt för flygplan och numera bilar, men också för elektroniken i CD-spelare, mobiltelefoner och andra apparater. Ofta kan man se inverkan av ett styrsystem som att det flyttar egenvärden till önskade positioner i det komplexa talplanet. Detta ger systematiska sätt att konstruera sådana system.

Fö 9: torsdag 14 feb 2019 kl. 10–12, sal T2

Anders Björn, MAI
Serier, primtal och tegelstenar [M]

Vi ska börja med att titta på hur man ska stapla tegelstenar på varandra för att få ett så stort överhäng som möjligt. Därefter ska vi diskutera lite olika problem som har med konvergens av serier att göra. Bl.a. ska vi titta på serierna $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad\text{och}\qquad \sum \frac{1}{p} , $$ där den senare summan är över primtalen \(p=2,3,5,7,11,\ldots\) Vi ska inte bara nöja oss med att avgöra om serierna konvergerar eller divergerar utan i det senare fallet också avgöra hur snabbt (långsamt) de divergerar. Därefter ska vi titta på några andra serier med viss anknytning till talteori, och också se hur primtal kan vara praktiskt användbara till annat än kryptering (primtalen är en fundamental del av de krypteringssystem som bl.a. används för säker överföring av information på internet).

Fö 10: torsdag 21 feb 2019 kl. 10–12, sal BL32

Hans Lundmark, MAI
Talsystem, del 1: Reella tal (med mera) [MH]

Vad man lägger i begreppet tal har varierat genom historiens gång. Positiva rationella tal har varit ganska okontroversiella sedan urminnes tider, men irrationella tal och negativa tal betraktades länge med skepsis, för att inte tala om de mystiska ”imaginära” talen. I differentialkalkylens barndom (slutet av 1600-talet) räknade man med ”infinitesimaler”, tal som var mindre än varje ”vanligt” positivt tal, men ändå på något sätt större än noll. Svårigheten att förklara exakt vad dessa oändligt små tal var för något ledde till att man under 1800-talet gradvis kom att föredra att formulera analysens grunder med hjälp av ”epsilon och delta”-resonemang istället, som t.ex. i den definition av begreppet gränsvärde som används i analyskurserna än idag. Man håller sig då alltså inom det reella talsystemet, som innefattar irrationella tal, men inga infinitesimaler, och heller inga oändligt stora tal. Märkligt nog dröjde det dock ända till långt in på 1800-talet innan Cantor och Dedekind var för sig föreslog precisa formuleringar av exakt vad man ska mena med begreppet ”reellt tal”. Och det var också först på 1800-talet som man på allvar började fundera över de logiska grunderna för vanlig heltalsaritmetik och bråkräkning.

Denna föreläsning börjar med lite historik, och därefter ska jag översiktligt försöka förklara hur man stegvis kan bygga upp teorin för de naturliga talen, de hela talen (inklusive negativa heltal), de rationella talen, och till slut de reella talen. (Vi kommer också in på ett litet sidospår om Cantors s.k. kardinaltal och ordinaltal.)

Som belöning för besväret kommer vi sedan bland annat att slutgiltigt kunna besvara evighetsdebattfrågan om huruvida 0,999999… och 1 är två olika tal eller bara två olika sätt att skriva det reella talet ”ett”.

Fö 11: torsdag 28 feb 2019 kl. 10–12, sal BL32

Hans Lundmark, MAI
Talsystem, del 2: Hyperreella och surreella tal [M]

Som en fortsättning på föregående utblick ska vi denna gång lära känna Abraham Robinsons hyperreella tal (från 1960-talet) och John Conways surrella tal (från 1970-talet), två talsystem som på varsitt sätt utökar det reella talsystemet till att även innefatta oändligt små och oändligt stora tal. De hyperreella talen, som används inom ickestandardanalys, bygger på Cantors idé som vi såg förra gången, att man kan definiera nya slags tal som ekvivalensklasser av talföljder. De surrella talen, med ursprung i kombinatorisk spelteori, fås å andra sidan genom att kombinera två andra idéer från förra utblicken, nämligen Dedekinds metod att definiera nya slags tal som Dedekindsnitt (par av talmängder) och von Neumanns mängdlära-konstruktion av ordinaltalen ”ur tomma intet”.

Fö 12: torsdag 7 mars 2019 kl. 10–12, sal T2

Hans Lundmark, MAI
Några berömda 1900-talsmatematiker [H]

Denna föreläsning bjuder på en kavalkad av 1900-talsverksamma matematiker, vars liv och verk vi ska försöka lära känna lite: Hilbert, Noether, Gödel, Turing, Ramanujan, Erdős, Grothendieck, Conway, m.fl.

Fö 13: torsdag 28 mars 2019 kl. 10–12, sal T2

Joakim Arnlind, MAI
Kvantgravitation och icke-kommutativ geometri [MT]

En av de stora utmaningarna inom teoretisk fysik under 1900-talet har varit att försöka konstruera en teori som förenar kvantfysiken med den allmänna relativitetsteorin. Kvantfysiken beskriver hur de allra minsta partiklarna växelverkar medan relativitetsteorin beskriver gravitationskraften och hur den påverkar rummet och tiden. I de allra flesta fall så räcker det med att använda endast en av teorierna för att beskriva ett fysikaliskt system. Till exempel så har gravitationskraften en ytterst liten inverkan på två protoner som kollliderar, medan kvantmekanik knappast är relevant då man vill beskriva hur planeterna rör sig i solsystemet. Det finns dock tillfällen då man inte kan bortse från någon av krafterna, till exempel vid mycket små avstånd eller vid mycket höga energier. En teori som tar hänsyn till både kvantfysik och gravitation skulle kunna benämnas "kvantgravitation", och än så länge finns det inte någon sådan som är allmänt accepterad av forskarna, även om det finns kandidater, som till exempel strängteori.

Vad de flesta forskare dock är ense om är att vi radikalt måste ändra vår syn på rummets struktur på mycket små längdskalor. Vi blir tvugna att byta ut vår vanliga uppfattning om geometri mot icke-kommutativ geometri. Icke-kommutativ geometri är ett område inom matematiken som försöker förstå geometriska begrepp såsom längd, krökning och derivator i ett sammanhang där koordinaterna som beskriver rummet inte längre kommuterar; dvs då x*y inte längre ger samma resultat som y*x. Naturligtvis kan koordinaterna inte längre vara tal (då det alltid gäller att x*y=y*x), utan snarare operatorer, som till exempel matriser, för vilka vi vet att X*Y inte alltid är lika med Y*X.

I denna utblick ska jag försöka ge en inblick i icke-kommutativ geometri och hur detta matematikområde är kopplat till teoretisk fysik.

Fö 14: torsdag 2 maj 2019 kl. 10–12, sal BL32

Jesper Thorén, MAI
Hyperkomplexa tal [M]

Vi diskuterar olika talsystem som kan konstrueras genom att lägga till 'imaginära enheter' till de reella talen. De vanliga komplexa talen är ett klassiskt exempel på ett sådant system. Övriga talsystem av denna form brukar benämnas hyperkomplexa talsystem. Exempel på dessa är Hamiltontalen (kvaternioner) och Cayleytalen (oktonioner). I denna utblick studerar vi dessa och ett par andra exempel och deras egenskaper. Vi ska också se på några vanliga metoder för att konstruera hyperkomplexa talsystem.

Mer allmänt, en algebra (över de rella talen) är ett vektorrum i vilket man definierat en bilinjär multiplikation mellan vektorerna. Beroende på multiplikationens utseende kan vi förutsätta vissa egenskaper hos algebran, t.ex. associativa lagen, kommutativa lagen osv. Ibland kan vi till och med alltid utföra division mellan vektorerna. Oftast gäller dock ingen eller endast några av dessa räknelagar. Det tredimensionella rummet R3 utrustat med vektorprodukten är ett exempel på en algebra som inte är kommutativ.

Ett hyperkomplext talsystem A är i detta språk en algebra med multiplikation *, och ett speciellt element, '1', sådant att 1*v=v*1=v, för alla v i A, och av speciellt intresse i denna utblick är de algebror där vi även kan utföra division mellan vektorerna (talen).

Fö 15: torsdag 9 maj 2019 kl. 10–12, sal C4

Hans Lundmark, MAI
Visualisering av komplexvärda funktioner [M]

Det vanliga sättet att visualisera en funktion y=f(x), där x och y är reella variabler, är att rita dess graf. Men om man har en funktion där variablerna är komplexa, säg w=f(z), så får man problem. För att kunna rita grafen direkt skulle man ju behöva ett fyrdimensionellt koordinatsystem, med två axlar för z (realdel och imaginärdel) och två axlar för w. Jag ska berätta om några sätt att visualisera sådana funktioner, speciellt en metod som kallas domain coloring (färgläggning av definitionsmängden). Den ger upphov till färgbilder som inte bara är vackra utan dessutom avslöjar intressanta matematiska fenomen som man inte ser när man inskränker sig till reella variabler. Redan så enkla funktioner som polynom bjuder på överraskningar, och vi ska även titta på andra elementära funktioner, till exempel w=exp(z) och w=sin(z).

Fö 16: torsdag 16 maj 2019 kl. 10–12, sal BL32

Hans Lundmark, MAI
Berömda matematiska konstanter [MH]

Smått och gott om några av de mest kända matematiska konstanterna (π, e, γ, φ, m.fl.).


Sidansvarig: Hans Lundmark
Senast uppdaterad: 2021-11-11