TATA69 Flervariabelanalys (M, DPU, EMM)

Videor till Föreläsning 12: Implicita funktionssatsen. Implicit derivering.

Tomas Sjödin: Implicita funktionssatsen (snabbversionen, bara det som står i teorihäftet)

Hans Lundmark: Implicita funktionssatsen (en betydligt längre version!)

Denna video är en grundligare genomgång av implicita funktionssatsen än Tomas' video ovan. Om du vill komma igång snabbt kan du börja med Tomas' video (eller läsa i teorihäftet) och sedan gå direkt på exemplen nedan (eller i exempelhäftet), och återkomma till den här videon ifall du behöver utförligare förklaringar; förhoppningsvis kan du här få svar på alla eventuella frågor som kan uppkomma. Alternativt, om du vill göra det grundligare redan från början, kan du hoppa över Tomas' video och se den här istället, så sparar du lite tid.

Stora delar av denna video innehåller material som är tänkt att vara användbart för alla som läser kursen, men några avsnitt riktar sig till den som är mera teoriintresserad. Här är en liten innehållsförteckning för att underlätta ifall du eventuellt vill hoppa över de tyngre avsnitten:

00:00 Introduktion och några exempel för att illustrera vad som menas med att en funktion är "explicit definierad" respektive "implicit definierad".
14:05 Nivåmängder kan se ut hur som helst!
16:13 Men under vissa enkla förutsättningar, som har med implicita funktionssatsen att göra, måste nivåmängder till en tvåvariabelfunktion vara nivåkurvor. Och gradienten i en punkt är vinkelrät mot nivåkurvan genom den punkten.
21:44 Formulering av implicita funktionssatsen för F(x,y)=C.
24:52 Bevisskiss. Första delen är inte så svår, men du kan skippa hela om det inte intresserar dig.
29:50 Andra delen av beviset. Betydligt svårare än första delen, så detta vill antagligen de flesta hoppa över.
37:02 Diverse anmärkningar. Detta bör vara av intresse för alla igen!
48:52 Ett konkret exempel.
58:26 Hur man visar att den implicita funktionen från Exempel 2 är snäll.
01:00:54 Implicita funktionssatsen med fler än två variabler.
01:01:40 Speciellt fallet med tre variabler: F(x,y,z)=C.
01:06:45 Implicita funktionssatsen med flera ekvationer (underbestämda ekvationssystem).
01:09:04 Fallet med två ekvationer och tre obekanta: F(x,y,z)=C, G(x,y,z)=D.
01:10:30 Bevisidé och bevis. Kan hoppas över.
01:16:22 Ett bevis till, med hjälp av inversa funktionssatsen. Kan också hoppas över.
01:20:40 Geometrisk tolking: kryssprodukt av gradienter.
01:23:30 Den allmänna versionen av implicita funktionssatsen (n ekvationer och n+k obekanta). Kan hoppas över.
01:28:02 En sista varning: villkoren i implicita funktionssatsen är tillräckliga men inte nödvändiga. (Felsägning vid 01:31:46: "samma definitionsmängd" ska vara "samma lösningsmängd".)