Göm meny

Bedömningsnormer för TATA69

Denna text är ett försök att förklara principerna för bedömning av tentor i kursen TATA69, samt en del detaljer för specifika typer av uppgifter. Det mesta här gäller nog i praktiken även för TATA43, och kanske andra flervariabelkurser också, men eftersom det inte är jag (Hans Lundmark) som är examinator där så kan jag förstås inte göra några officiella uttalanden om detta.

Jag brukar rätt ofta få frågor om hur man ska motivera när det gäller teckenkaraktären hos kvadratiska former. Standardsvaret är "använd systematisk kvadratkomplettering", och jag har skrivit en liten extra utvikning längst ner på sidan om vad det egentligen innebär. Se också exemplen i kurslitteraturen såklart. Jag rekommenderar även varmt uppgift K11 från extraproblemen (ht 2019), som ger åtskilliga exempel på hur man inte ska göra.

Godkänd/underkänd uppgift

Den viktigaste principen är att varje uppgift helhetsbedöms och klassificeras som godkänd eller underkänd. För godkänd uppgift räcker det inte att man i princip vet hur problemet ska angripas, utan man behöver verkligen klara av att utföra det också. Godkänd uppgift ger 3 poäng om den är (så gott som) helt korrekt, men 2 poäng om det finns vissa brister (t.ex. små räknefel som inte leder till uppenbara orimligheter, eller mindre oklarheter i någon motivering). Underkänd uppgift ger ofta 0 poäng (principfel, orimligt svar, fel angreppssätt, etc.), men ibland 1 poäng. Poängskalan är alltså inte linjär; steget mellan 1 och 2 poäng är relativt stort, medan stegen mellan 0 och 1 poäng eller mellan 2 och 3 poäng är relativt små.

Betyget baseras främst på antalet godkända uppgifter (det krävs 3/4/5 godkända uppgifter för betyg 3/4/5), men det finns också ett bivillkor rörande det sammanlagda poängantalet (minst 8/11/14 poäng).

En viss helhetsbedömning görs också av hela skrivningen. T.ex. kanske ett visst fel i nödfall kan accepteras om det hänger på det för att tentan ska bli godkänd, men inte om det gäller betyg 5. Eller om två uppgifter balanserar på gränsen mellan godkänt och underkänt, så kan det hända att man kompenserar en hård bedömning av den ena med en snällare bedömning av den andra.

Motsägande lösningar

Ibland förekommer det att tentander "helgarderar" genom att lämna in två lösningar med olika svar på en och samma uppgift. Gör inte det! I sådana fall räknar vi nämligen den sämre av de två inlämnade lösningarna.

Räknefel

Räknefel som hade kunnat upptäckas med en enkel kontroll bedöms strängare än andra. (Det är ju en viktig egenskap för en ingenjör att kunna göra rimlighetsbedömningar och kontroller, eller hur?)

Några exempel:

  • Om man räknar ut en kryssprodukt måste bli resultatet bli ortogonalt mot båda faktorerna, vilket man enkelt kan kontrollera med hjälp av skalärprodukt.
  • Primitiv funktion kan kontrolleras genom derivering.
  • Lösningar till ekvationssystem, andragradare, differentialekvationer, etc., kan kontrolleras genom insättning.
  • Matrisinvers kan kontrolleras genom att multiplicera inversen med den ursprungliga matrisen (det ska förstås bli enhetsmatrisen).

(Sådana här kontroller gör man lämpligen på kladdpapper, för sin egen skull. Det är inte något som man behöver lämna in.)

Multipelintegraler

Om integranden (dvs. funktionen som integreras) är positiv inom integrationsområdet, så måste resultatet bli positivt. Likaså måste integralen av en negativ funktion bli negativ. Detta är lika grundläggande som att summan av ett antal positiva tal måste vara positiv. Uppenbart fel tecken på svaret ger därför vanligen noll poäng direkt, och i varje fall inte godkänd uppgift.

(Att bara utan kommentar byta tecken i svaret är också ett säkert sätt att få underkänd uppgift, likaså om man försöker "helgardera" med halvt utsuddade minustecken eller dylikt.)

Vad som är uppenbart är förstås i viss mån en bedömningsfråga. Om man integrerar ett uttryck i kvadrat, eller e upphöjt till någonting, så är det ju väldigt klart att det måste bli positivt. Trippelintegralen av z3 över ett område som helt ligger nedanför xy-planet (alltså där z < 0) måste bli negativ. Och om man ska beräkna en dubbelintegral av 2xy och integrationsområdet ligger helt och hållet på ena sidan om linjen y=2x, så bör man också utifrån detta kunna säga vad tecknet ska bli (positivt/negativt om området ligger på höger/vänster sida om linjen). Ifall man på slutet märker att tecknet blev fel måste man gå tillbaka till uträkningarna och lokalisera var felet har uppstått, så att man kan rätta till det; det räcker förstås inte att bara konstatera att det verkar vara fel tecken och byta tecken när man svarar.

(Anm.: Ifall integranden växlar tecken så kan man förstås oftast inte säga på förhand vilket tecken svaret ska ha. Ifall man kan se att funktionens värden inom integrationsområdet ligger mellan m och M, så kan man dra slutsatsen att integralens värde måste ligga mellan mA och MA där A är områdets area/volym (för dubbel- resp. trippelintegraler), och detta är ofta användbart för att avgöra om ens svar är rimligt.)

Fel gränser när man skriver en multipelintegral som upprepade enkelintegraler ger i allmänhet noll poäng.

Fel område i nya variabler vid variabelbyte ger i allmänhet noll poäng. (Man kanske får behålla en poäng i vissa fall, t.ex. om man har fått fel gränser för en vinkel på grund av något trigonometrifel som inte är alltför vansinnigt, eller om man glömmer dra roten ur så att man tror att radien är 9 när den ska vara 3.)

Helt bortglömd funktionaldeterminant vid variabelbyte ger noll poäng. Uträknad determinant som glömt sättas in i uträkningen ger två poängs avdrag. Fel tecken på determinanten (glömt ta absolutbelopp) ger två poängs avdrag (eller tre om svaret blir uppenbart orimligt). Likaså om man sätter in den "felvänd" i uträkningen (t.ex. "du dv = 5 dx dy" om det skulle ha varit "dx dy = 5 du dv"). Vid byte till plan- eller rymdpolära koordinater behöver man inte räkna ut determinanten varje gång; det räcker att komma ihåg att den är ρ resp. r2 sin θ.

Felaktiga symmetriargument är principfel och ger noll poäng. För att man ska kunna använda symmetrier för att förenkla multipelintegraler måste både området och integranden ha samma symmetri. Man kan t.ex. inte utan vidare dela upp en parallellogram i två lika stora trianglar och säga att det räcker att integrera över den ena och sedan multiplicera med två.

Fel vid uträkning av enkelintegraler är en bedömningsfråga, eftersom de kan vara mer eller mindre grova. Enklare räknefel vid insättning av gränser ger typiskt ett poängs avdrag, alltför många eller grova sådana räknefel minus två poäng. Fel primitiv funktion ger i de flesta fall underkänd uppgift. Vi brukar försöka undvika att ge problem som leder till väldigt kniviga primitivuträkningar, men ni förväntas kunna integrera rationella funktioner med polynomdivision och partialbråksuppdelning, integrera trigonometriska funktioner med lämpliga variabelbyten eller omskrivning med Eulers formler, hitta primitiv till ln(x) och x·exp(x2), och liknande standardgrejer från envariabelanalysen. (Ibland kan man förstås råka ut för svåra primitivuträkningar på grund av att man har valt ett olämpligt angreppssätt.)

En liten moralkaka: se till att förstå de olika tolkningarna av multipelintegraler (volym under graf, integration av laddnings- eller masstäthet för att få totala laddningen/massan, osv). Man ser ganska ofta lösningar där tentanden tror sig beräkna en area eller en volym även i sådana fall där det inte är det man gör. T.ex. händer det att något som inte är en area ges i "areaenheter" i svaret (vilket knappast ger något poängavdrag men troligen en anmärkning och ett sämre helhetsintryck), eller att ett korrekt uträknat negativt värde på en trippelintegral ändras till positivt i svaret "eftersom det är en volym" (vilket riskerar att ge noll poäng direkt enligt regeln "uppenbart felaktigt svar", även om resten är rätt!), eller att man säger "man kan lika gärna integrera över det här området eftersom det har samma area" (felaktigt symmetriargument, också noll poäng).

Generaliserade multipelintegraler

För generaliserade integraler som växlar tecken inom integrationsområdet måste man räkna ut den positiva och den negativa delen var för sig (alternativt först visa att integralen är absolutkonvergent), annars blir det noll poäng (principfel). Om en generaliserad integral inte växlar tecken är det bara att räkna på som vanligt, men detta måste motiveras med ett explicit påpekande, annars blir det ett poängs avdrag.

Lösning av partiella differentialekvationer med hjälp av variabelbyte

Man måste gå över helt till nya variabler innan man börjar integrera. Att försöka integrera någon blandning av gamla och nya variabler ger underkänd uppgift.

Hemmagjorda skrivsätt för derivator eller deriveringsoperatorer ger poängavdrag i varierande mån, beroende på hur grova felen är. Ett särskilt allvarligt fel är att skriva (∂f/∂x)(∂f/∂y) om man menar ∂2f/∂xy. En produkt av två förstaderivator är ju något helt annat än en andraderivata, så detta brukar ge noll poäng. (Däremot är (∂/∂x)(∂f/∂y) = ∂2f/∂xy korrekt; när deriveringsoperatorn (∂/∂x) verkar på förstaderivatan så får man andraderivatan.)

Se upp med fel i stil med (∂/∂x)(u(∂f/∂y)) = u(∂/∂x)(∂f/∂y); den nya variabeln u beror i allmänhet på den gamla variabeln x, så man kan inte bryta ut den utanför x-derivatan. Produkten u(∂f/∂y) måste istället deriveras enligt produktregeln. Den här typen av principfel ger garanterat underkänd uppgift.

Använd inte samma beteckning för flera olika saker. Om man t.ex. har en godtycklig funktion g(u) som integreras med avseende på u så blir resultatet en ny godtycklig funktion, men den måste få heta något annat än g, lämpligen G(u). (Om man kallar båda för g blir det typiskt ett poängs avdrag.) Observera att det inte blir u·g(u); påstår man det blir det typiskt minus två poäng! (Däremot blir det förstås v·g(u) om man integrerar med avseende på den andra variabeln v.)

Lokala extrempunkter

Grundregel: för godkänd uppgift ska alla stationära punkter ha hittats och vara (någorlunda) korrekt undersökta. Även till synes ganska små fel kan alltså stjälpa en sådan här uppgift, så det gäller att vara noggrann!

Felderivering räknas som ett rätt allvarligt fel och ger i allmänhet underkänd uppgift.

Fel slutsats (t.ex. "negativt definit, alltså lokalt minimum") ger underkänd uppgift.

Vid beräkning av den kvadratiska formen i en stationär punkt ges två poängs avdrag om man glömmer en faktor 2 vid blandterm. Om man ställer upp uträkningen som en matrisprodukt så är det ett uppenbart strukturfel ifall matrisen inte är symmetrisk (två poängs avdrag). Ibland förekommer något slags hemmagjord matrismultiplikation där t.ex. en n×n-matris gånger en kolonnvektor felaktigt blir en ny n×n-matris, följt av en ny inkorrekt matrismultiplikation med radvektor som ger en skalär; detta är ju egentligen inte så bra, men om det i slutändan ändå ger rätt kvadratisk form kan man möjligen komma undan med bara ett poängs avdrag.

Undersökning av teckenkaraktären hos de kvadratiska formerna är ju själva kärnan i uppgiften, och här är det viktigt att allt är rätt motiverat. För att visa att en kvadratisk form Q är indefinit räcker det att hitta ett exempel på att Q kan positiv och ett annan exempel på att Q kan bli negativ. För att visa positivt/negativt definit, räcker det inte med exempel, utan det krävs ett vattentätt argument. I båda fallen är systematisk kvadratkomplettering den metod som rekommenderas. Eftersom jag ofta får frågor om exakt vad "systematisk" innebär i det här sammanhanget så finns det en utvikning om detta längst ner på denna sida.

Givet ett systematiskt kvadratkompletterat uttryck kan man avläsa formens teckenkaraktär från tecknen hos koefficienterna, och det finns standardresonemang som förklarar varför slutsatsen blir som den blir (se nedan). Helst bör man kort redogöra för dessa resonemang för att visa att man förstår begreppen och logiken, men förutsatt att kvadratkompletteringen är systematiskt gjord så godtas det att man motiverar enbart genom att peka på koefficienternas tecken. Om man däremot inte har gått systematiskt till väga, så håller det inte att bara peka på tecknen (då blir det två poängs avdrag), men man kan ibland rädda situationen och argumentera korrekt även från ett osystematiskt kvadratkompletterat uttryck; om man gör det så blir det inga poängavdrag.

Se upp med det semidefinita fallet! Om Q är positivt semidefinit eller negativt semidefinit så kan man inte dra någon slutsats enbart genom att undersöka Q, utan då får man gå tillbaka till uttrycket för f och se om man från det direkt på något sätt kan visa om det är en lokal extrempunkt eller inte. (Somliga rör ihop det och säger "slutsats kan ej dras" om de har visat att Q är indefinit, men detta är ett felaktigt påstående. I det indefinita fallet kan man ju visst dra en slutsats, nämligen "punkten är inte en lokal extrempunkt".)

Slarvigt användande av likhetstecken, i stil med Q = 2(h2 + k2) = h2 + k2, ger ett poängs avdrag, eller två poängs avdrag om faktorn som slarvas bort är negativ. (Ifall man t.ex. har en faktor två som man inte vill släpa med sig, så kan man slippa det genom att skriva Q / 2 = …) Av någon anledning förekommer det just i den här typen av uträkningar ganska ofta att folk skriver implikationspil där det ska vara likhetstecken. Gör inte det är ni snälla, det ser förskräckligt fult ut! Ett annat vanligt fel är att man redovisar förenklingen av Q som en följd av ekvationer genom att helt utan anledning slänga på ett "= 0" i varje led. Här blir det också minus två poäng ifall man dividerar bort en negativ faktor så att slutsatsen blir motsatsen av vad den borde.

Parentesfel i stil med −2((h+k)2 + k2) = −2(h+k)2 + k2 ger ofta två poängs avdrag (eftersom sådana fel ju kan göra att slutsatsen blir helt annorlunda); i vissa lindriga fall kanske det bara blir ett poängs avdrag.

(Räknefel av ovanstående slag kan ofta upptäckas genom att sätta in lite enkla siffror i det ursprungliga resp. det kvadratkompletterade uttrycket för Q. Om räkningarna stämmer så ska förstås det numeriska värdet bli samma i båda fallen.)

Metoder från linjär algebra kan naturligtvis också användas för att undersöka teckenkaraktären, men att beräkna egenvärden är jobbigare än att kvadratkomplettera, och dessutom kan man fastna på besvärliga tredjegradsekvationer. (I linjär algebra-kurser brukar 3×3-matriser vara riggade så att deras karakteristiska polynom har en rot som är enkel att gissa, men så är det inte i denna kurs!) Att använda Sylvesters kriterium är tillåtet, förutsatt att man tydligt talar om att det är det man gör. (Om du inte vet vad Sylvesters kriterium är så kan du lugnt ignorera föregående mening.)

I vissa källor (t.ex. den här Wikipediaartikeln) formuleras regler för hur man kan dra slutsater om stationära punkter i tvåvariablerfallet utifrån elementen i Hessematrisen, dvs. den symmetriska 2×2-matrisen med de partiella andraderivatorna. Typ såhär: "om A>0 och AD-BC>0 så …", och dylikt. Det är okej att använda dessa regler om man lyckas memorera dem korrekt, men varför ödsla tid på att försöka memorera regler som inte ger någon insikt om varför det blir som det blir, när man istället kan använda systematisk kvadratkomplettering där man (förhoppningsvis!) enkelt inser vad slutsatsen ska bli? Dessutom säger ju inte dessa regler för tvåvariabelfallet någonting om hur det blir ifall man har fler än två variabler.

Utvikning: Systematisk kvadratkomplettering

Den systematiska proceduren ser ut såhär: Välj ut en variabel som förekommer som "ren kvadrat", samla alla termer som innehåller den variabeln, kvadratkomplettera. Då är första parentesen klar. Upprepa sedan samma sak med de återstående termerna (som alltså inte innehåller den först valda variabeln utan bara de övriga). Och upprepa igen, tills uttrycket har skrivits som en summa av kvadrater. Om Q beror på n variabler så är det klart efter (högst) n steg, eftersom man får en variabel mindre i varje steg. Det slutliga uttrycket har då en "trappstruktur" eller "triangulär struktur" i det avseendet att parentesen i den första kvadrattermen får innehålla alla variabler, nästa parentes får innehålla alla variabler utom en, nästa parentes från innehålla alla variabler utom två (den som försvann i första steget samt ytterligare en), osv. Notera att om man följer denna procedur så är det omöjligt att få fler än n kvadrattermer – om man t.ex. har tre variabler men fyra kvadrattermer så har man inte utfört kvadratkompletteringen systematiskt, likaså om det finns kvar några blandtermer någonstans.

Ifall man hamnar i situationen att det bara återstår blandtermer, alltså inga rena kvadrattermer, så kan man inte utföra nästa steg enligt algoritmen ovan. Men det gör inget, för i det läget bör det vara lätt att hitta exempel som visar att formen är indefinit!

Efter att kvadratkompletteringen är gjord finns det två standardresonemang:

(1) Om man har n kvadrater som alla har positiv koefficient så måste formen Q vara positivt definit. Den kan ju inte anta några negativa värden, och ifall den ska bli noll måste alla uttryck som kvadreras vara noll, och på grund av trappstrukturen ser man direkt att detta bara kan inträffa ifall alla variabler är noll. Likadant ifall alla koefficienter är negativa; då är Q negativt definit.

(Men se upp! Ifall det blir färre än n kvadrattermer så är Q bara semidefinit, och då måste man gå tillbaka och på något sätt direkt undersöka funktionen f. Om man tänker i termer av teckenmönster så känner man igen det positivt semidefinita fallet på att det inte enbart innehåller plustecken, utan även nollor. T.ex. med tre variabler så måste man ha "+++" för att Q ska vara positivt definit; om det blir "++0" eller "+00" (eller "000"!) så är Q bara positivt semidefinit.)

(2) Om det finns både positiva och negativa koefficienter så är Q indefinit. I det här fallet gör trappstrukturen det enkelt att hitta exempel på punkter där Q är positiv resp. negativ – man kan ju t.ex. genom att arbeta bakifrån lätt hitta värden på variablerna som gör att en viss parentes blir nollskild och alla andra parenteser blir noll. Exempel: om Q(h,k) = (h + 2k)2 − k2 och man vill hitta värden på h och k som gör Q negativ, så tar man t.ex. k = 1, så att termen −k2 verkligen ger ett negativt bidrag, och sedan ser man till att termen (h + 2k)2 inte ger något positivt bidrag, genom att lösa ekvationen h + 2k = 0, vilket ger h = −2. Alltså Q(−2,1) < 0. Och för att hitta värden som gör Q positiv tar man k = 0 så att termen −k2 inte ger något negativt bidrag, och sedan t.ex. h = 1 för att få ett positivt bidrag från (h + 2k)2. Alltså Q(1,0) > 0.

(Obs! När man sätter in värden i Q så bör man för sin egen skull (även om det inte redovisas) testa värdena både i det kvadratkompletterade uttrycket och i det ursprungliga, för att upptäcka eventuella räknefel.)


Sidansvarig: Hans Lundmark
Senast uppdaterad: 2022-05-18