Göm meny

TATA69 Flervariabelanalys: Blandade tentatips

  • Kontrollera noga att du har skrivit av uppgifterna rätt.
  • När du har gjort det, kontrollera det en gång till! Ofta läser man vad man tror att det ska stå, istället för vad det verkligen står. (Exempel: "x≥0, y≥0, z≤0", där det är lätt att missa att olikheten för z är vänd åt andra hållet.)
  • Utför (på kladdpapper) alla rimlighetskontroller som du över huvud taget kan komma på! Både för uppgiften som helhet (exempel: integral av negativ funktion måste bli negativ) och för små delmoment (exempel: en kryssprodukt måste bli vinkelrät mot de två vektorer som man kryssar, och detta kontrollerar man med skalärprodukt). Fel som borde ha upptäckts med en enkel kontroll bedöms i allmänhet ganska strängt!
  • Om man upptäcker något som är orimligt så måste man gå tillbaka och leta reda på var felet har uppstått. Det räcker t.ex. inte att bara säga "den här integralen fick jag till −17, men den måste ju vara positiv eftersom funktionen som integreras är positiv, så jag svarar +17 istället".
  • Mitt favorittips när det gäller tentaförberedelser är att inte bara räkna gamla tentor, utan även titta igenom alla lektionsuppgifterna en gång till. Man behöver kanske inte räkna igenom allt, men man kan åtminstone titta på uppgifterna och fundera på hur man skulle angripa dem, och sedan jämföra med hur man faktiskt gjorde när man räknade dem under kursens gång. Ibland märker man att man nu löser dem mycket smartare, och ibland märker man att man fullständigt har glömt bort att man ens har sett uppgiften. Lärorika upplevelser i båda fallen!
  • Om du av någon anledning vill ignorera ovanstående goda råd, så se åtminstone till att du behärskar uppgifterna för de första lektionerna som ett rinnande vatten. Alltför många är fortfarande vid slutet av kursen osäkra på sådant som man borde ha sett till att förstå en gång för alla redan från början. (Exempel: Blandar ihop nivåkurvor för tvåvariabelfunktioner med nivåytor för trevariabelfunktioner. Inte fattat att grafen för en tvåvariabelfunktion lever i tre dimensioner, medan grafen för en trevariabelfunktion lever i fyra dimensioner och därför inte kan ritas eller visualiseras av oss vanliga dödliga.)
  • Andra vanliga förvirringar: blandar ihop begreppen "tangentlinje (till kurva)" och "tangentplan (till yta)", tror att gradienten för en tvåvariabelfunktion är en vektor i tre dimensioner (som man dessutom ofta då tror är vinkelrät mot grafen z=f(x,y)), tror att man alltid beräknar en volym när man räknar ut en trippelintegral, tror att volym är den enda möjliga tolkningen av dubbelintegral, inte fattat att när man tolkar en dubbelintegral som volym så räknas volym under xy-planet negativt, etc.
  • Multipelintegraler kan ofta beräknas på flera sätt. Det kan vara värt att ägna tid åt att göra detta, bara för att vara säker på att det blir rätt. Detta är ett specialfall av den allmänna principen att det är bättre att göra få uppgifter noggrant än många uppgifter slarvigt.
  • Skriv läsligt, sopa bort suddgummirester, sortera uppgifterna i nummerordning, osv. Speciellt: istället för att sudda ut en hel sida och skriva över igen (vilket man faktiskt ser förvånansvärt ofta), ta ett nytt papper. LiU bjuder på papper, så du behöver inte snåla! ;-)
  • Förklara med vanliga meningar vad du gör. Somliga verkar tro att det är förbjudet att skriva något annat än formler när man räknar matte, men det så är det verkligen inte. (Det behöver oftast inte vara några långa utläggningar. Exempel: "Först beräknas de stationära punkterna." "Jag kallar den sökta tangeringspunkten för (a,b,c).")
  • Lär dig definitionerna av de begrepp som ingår i kursen. Allt bygger på definitionerna, och det kan mycket väl komma frågor om dem på tentan. (Och se till att förstå innebörden av ordet "definition" om du inte har gjort det ännu. Om det frågas efter en definition av begreppet X är det inte meningen att man ska häva ur sig allting som man överhuvudtaget råkar känna till om X, utan det ska bara stå exakt vad som menas med X, varken mer eller mindre.)
  • Vi brukar inte dra poäng för rent språkliga fel, men eftersom du gärna vill hålla rättaren på gott humör, kalla inte kvadratiska former för "kvadratiska formler", och skriv inte "positivt definierad" el. dyl. när du menar positivt definit. Inte heller heter det "ett lokalt minima" eller "ett lokalt minimi", utan det rätta är "ett lokalt minimum". (Minima är plural av minimum, på latin närmare bestämt. SAOL förespråkar "minimum" både i singular och plural på svenska, men matematiker använder ganska ofta den latinska formen i plural för att kunna göra åtskillnad. "Minimi" säger man aldrig ensamt utan bara som förled i t.ex. ordet minimipunkt.)
  • Mera allvarligt: säg inte "slutsats kan inte dras" om du menar "slutsatsen är att punkten varken är ett lokalt maximum eller minimum". Detta är ett logikfel och inte ett språkfel, och resulterar normalt i poängavdrag.
  • I geometriska uppgifter, försök alltid rita en vettig figur. Ibland kan man rita väldigt exakt hur det ser ut, till och med så att man kan se om de siffror man sedan räknar fram är rimligt stora. Ibland får man nöja sig med en principskiss, men även det kan vara till stor hjälp.
  • Vid beräkning av generaliserade multipelintegraler ska man ju ta den positiva delen för sig och den negativa delen för sig, och sedan slå ihop resultaten. Ifall funktionen har samma tecken i hela integrationsområdet behöver man inte dela upp i fall, utan det är bara att räkna på, men man behöver i så fall påpeka detta som motivering. (Att glömma detta påpekande är ett typiskt exempel på ett mindre fel som ger 2p istället för 3p, förutsatt att resten är rätt.) Observera även att detta bara gäller för generaliserade integraler; ifall det är en vanlig integral behöver man såklart inte dela upp området eller påpeka något om funktionens tecken.
  • Se till att ha förstått hur beteckningarna för derivator funkar. d2f/dx2 betyder andraderivatan med avseende på x, alltså något helt annat än (df/dx)2 vilket är kvadraten på förstaderivatan. Och när man skriver d2/dx2 ensamt så är det en "differentialoperator", som har effekten att derivera det som kommer närmast efteråt på raden. Skrivsättet (d/dx)2 är en förkortning för (d/dx)(d/dx) och betyder alltså "utför operationen d/dx två gånger"; detta är alltså samma sak som d2/dx2. Andraderivatan av uttrycket (XXX) kan alltså skrivas (d2/dx2)(XXX) eller (d/dx)2(XXX), men inte t.ex. "(XXX)(d2/dx2)".
  • Vid lösning av partiella differentialekvationer: om det dyker upp en godtycklig funktion g(u) som i ett senare steg ska integreras med avseende på u, så blir resultatet en primitiv funktion till g, vilken lämpligen betecknas med G(u). Eftersom g var godtycklig så blir G det också, men man bör ändå välja en annan beteckning än g för resultatet, eftersom man inte ska använda samma bokstav för två olika saker. Ännu värre: påstå inte att primitiven till g(u) är u g(u)! Om det vore så enkelt att integrera en funktion vilken som helst så hade ni inte behövt slita i ert anletes svett för att lära er integrationsmetoder i envariabelanalysen… (Om man däremot integrerar med avseende på en annan variabel v blir såklart v g(u) en primitiv, men det är en annan sak.)
  • Angående blandade andraderivator: för tillräckligt snälla funktioner gäller att d2f/dxdy=d2f/dydx, och efter byte till nya variabler (u,v) gäller även d2f/dudv=d2f/dvdu, men man kan i allmänhet inte kasta om ordningen ifall man har en ny och en gammal variabel. T.ex. är alltså i allmänhet d2f/dxdu inte samma sak som d2f/dudx. Se övning 2.42 i problemsamlingen för ett exempel.
  • Om gradienten ∇f(x,y,z) är given och man vill bestämma f(x,y,z), så är det i allmänhet inte någon bra idé att separat integrera ekvationerna för df/dx, df/dy och df/dz, och sedan försöka pussla ihop resultaten. Använd istället den systematiska metoden som lärs ut i kursen.
  • Till sist: Om du är i den jobbiga situationen att du har kuggat tentan flera gånger och nu bara måste klara den för att få ut studiemedel, examen eller dylikt, kom till MAI före tentan och prata med examinatorn eller någon annan lärare som du känner, så att vi kan försöka sätta fingret på vad som orsakar problemen, och (förhoppningsvis) hjälpa dig att prestera ett bättre resultat. (Ta då gärna med några av dina gamla tentor också.) Att komma med snyfthistorier efteråt hjälper tyvärr inte; poängen med anonyma tentor är ju att alla ska bedömas lika oavsett förutsättningar, och en bedömning som gjorts anonymt kan vi inte ändra på i efterhand enbart av personliga hänsyn.

Sidansvarig: Hans Lundmark
Senast uppdaterad: 2019-11-29