Göm meny

Gammalt kursmaterial för TATA71 (fram t.o.m. 2016)

Hans Lundmark har tagit över kursen från Stefan Rauch fr.o.m. ht 2017. Kursinnehållet är i mångt och mycket detsamma, men med lite annan betoning kanske, och en annan kursbok. Och datorlektionerna är borta. Den gamla kursinformationen och diverse annat kursmaterial finns arkiverat på denna sida, ifall någon är intresserad.

TATA71 Kursinformation t.o.m. 2016 [Obs! Inaktuellt!]

Kursen skall ge kunskaper om och färdigheter i användningen av ordinära differentialekvationer samt en introduktion till moderna datorbaserade beräkningshjälpmedel (Maple) för både numerisk och symbolisk kalkyl.

Kursinnehåll

  • Allmänt om differentialekvationer och riktningsfält. Elementärt integrerbara differentialekvationer av första ordningen. Exakta ekvationer och integrerande faktor. Lösningar som nivåkurvor. Autonoma ekvationer, jämviktspunkter och stabilitet.
  • Existens och entydighet för lineära och olineära differentialekvationer. Konstruktion av lösningar med Picards metod.
  • Lineära ekvationer och system av lineära ekvationer med konstanta koefficienter. Resolventmatris och exponentialmatris.
  • Olineära autonoma dynamiska system: fasporträtt, linearisering, Liapunovfunktioner, stabilitetssatser.

Kurslitteratur m.m.

Undervisning

Undervisningen är organiserad i 10 föreläsningar om 2h och 12 lektioner om 2h för eget arbete under handledning. 10 lektioner är schemalagda i datorsal med tillgång till Maple.

Examination

Kursen omfattar 6 högskolepoäng (4 gamla poäng). Datorkunskaper utexamineras genom inlämningsuppgifter (2hp) och kursen avslutas med en skriftlig tentamen (4hp). Tentamen omfattar sex stycken uppgifter, 0-3 poäng per uppgift. Betygsgränser: 8p för trea, 11p för fyra, 13p för femma. Totalbetyget för kursen avgörs av tentan.

TATA71 Föreläsningar t.o.m. 2016 [Obs! Inaktuellt!]

Efter varje föreläsning finns en lista över aktuella avsnitt i läroboken. För den som vill slippa anteckna, finns innehållet i föreläsningarna utskrivna. Oftast som vanliga pdf-dokument och ibland som mw-filer som kan köras i Maple. Här finns alla föreläsningarna samlade i ett dokument med innehållsförteckning och litteraturlista.

1. Differentialekvationer av första ordningen.

Föreläsningen behandlar några klassiska typer av differentialekvationer och tillhörande lösningsmetoder. Innehållet bör inte vara alldeles obekant då mycket ingår i de vanliga analyskurserna. Se därför gärna tillbaka på motsvarande avsnitt i den analysbok som ni tidigare använt. Föreläsningen som pdf-fil.

  • 1.1 Differential Equations and Mathematical Models. (Speciellt exemplen 3, 4 och 5.)
  • 1.2 Integrals as General and Particular Solutions. (Speciellt exempel 4)
  • 1.4 Separable Equations and Applications.
  • 1.5 Linear First-Order Equations.
  • 1.6 Substitution Methods and Exact Equations.

2. Differentialekvationer och Maple.

Ett viktigt moment i kursen är att lära känna och utnyttja modern matematisk programvara för att undersöka och lösa differentialekvationer. Hela föreläsningen ägnas åt att demonstrera det formelbehandlande programmet Maple och att exemplifiera dess användning för att lösa differentialekvationer. Föreläsningen finns här både som ett mapledokument och som en pdf-fil.

  • 1.3 Slope Fields and Solution Curves.

3. Modeller för dynamiska förlopp.

Differentialekvationer beskriver rörelse och förändring. Historiskt är det tillämpningar inom mekanik som varit viktigast för utvecklingen av teorin. På senare tid har dynamiska problem inom kemi och biologi rönt allt större intresse. Föreläsningen behandlar några enkla modeller för dynamiska förlopp och introducerar de viktiga begreppen jämvikt och stabilitet. Föreläsningen som pdf-fil.

  • 2.1 Population Models.
  • 2.2 Equilibrium Solutions and Stability.
  • 2.3 Acceleration-Velocity Models.

4. Lineära ekvationer av högre ordning.

Tillämpningar inom mekanik och elektricitetslära leder ofta till problem som beskrivs av differentialekvationer av högre ordning än ett. Speciellt väl utvecklad är teorin för lineära ekvationer. Föreläsningen behandlar homogena ekvationer där lösningsmängden utgör ett lineärt n-dimensionellt rum om ekvationen är av ordning n. Föreläsningen som pdf-fil.

  • 3.1 Introduction: Second-Order Linear Equations
  • 3.2 General Solutions of Linear Equations
  • 3.3 Homogeneous Equations with Constant Coefficients

5. Inhomogena ekvationer.

Fortsättning från föregående föreläsning. Nu studeras inhomogena ekvationer, konstruktion av partikulärlösning, wronskideterminant och det viktiga begreppet resonans med exempel från mekanik och elektricitetslära. Föreläsningen som pdf-fil.

  • 3.5 Nonhomogeneous Equations and Underdetermined Coefficients
  • 3.6 Forced Oscillations and Resonance
  • 3.7 Electrical Circuits

6. System av differentialekvationer.

I många sammanhang uppträder differentialekvationer naturligt som system där två eller flera funktioner skall bestämmas. Genom att betrakta lösningarna som en vektorvärd funktion kan man skriva en stor klass av ekvationer på en kompakt form som är väl lämpad för teoretisk analys. Ett första steg mot existens- och entydighetsresultat är att formulera begynnelsevärdesproblemet som en integralekvation. Föreläsningen som pdf-fil.

  • 4.1 First-Order Systems and Applications
  • 4.2 The Method of Elimination

7. Existens och entydighet.

Det mest centrala momentet i kursen är frågan om existens av lösningar till begynnelsevärdesproblemet och om lösningarna i så fall är entydigt bestämda av begynnelsedata. Nära besläktat med detta är problemet om lösningarnas stabilitet, det vill säga hur små ändringar i ekvation och begynnelsedata påverkar lösningen. Föreläsningen som pdf-fil.

  • Appendix: Existence and Uniqueness of Solutions

8. Lineära system av differentialekvationer.

Teorin för lineära system är mycket enklare och därför mer komplett än motsvarande för olineära system av differentialekvationer. Speciellt gäller detta system med konstanta koefficienter. Lösningsformler och grundläggande resultat om lösningarnas struktur bygger på existens- och entydighetsresultaten från förra föreläsningen. Resultat från lineär algebra, speciellt egenvärden och egenvektorer, har här sitt kanske viktigaste användningsområde.  Föreläsningen som pdf-fil.

  • 5.1 Matrices and Linear Systems
  • 5.2 The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems
  • 5.3 Second-Order Systems and Mechanical Applications

9. Olineära dynamiska system. Stabilitet och linearisering.

Begreppen jämviktspunkt och stabilitet för olineära autonoma system av differentialekvationer definieras och undersöks. Genom att linearisera systemet kan man under vissa förutsättningar visa att stabilitetsegenskaperna hos det lineära systemet också återfinns hos det olineära. Föreläsningen som pdf-fil.

  • 6.1 Stability and the Phase Plane
  • 6.2 Linear and Almost Linear Systems

10. Stabilitet för olineära dynamiska system. Liapunovfunktioner.

Genom linearisering kan man ibland avgöra om en jämviktspunkt är stabil eller inte. Metoden fungerar dock bara om det lineära systemets egenvärden alla har negativ realdel eller om något egenvärde har positiv realdel. Den metod vi nu skall studera har inte dessa brister, men förutsätter å andra sidan att man kan konstruera en liapunovfunktion. Föreläsningen som pdf-fil.

  • 6.3 Ecological Models: Predators and Competitors
  • 6.4 Nonlinear Mechanical Systems

TATA71 Lektioner t.o.m. 2016 [Obs! Inaktuellt!]

Lektionerna är förlagda dels som 11 tvåtimmarspass i vanlig 30-sal och dels som 11 tvåtimmarspass i någon av ISY-datorsalarna (Egypten, Asgård eller Olympen) där det finns tillgång till datorer med Maple. Avsikten är att lektionerna skall ägnas åt självständigt arbete under handledning.

Lektioner i vanlig sal.

Uppgifterna finns i läroboken och är numrerade enligt principen:

Kap.Avsnitt: Uppgiftsnummer1, Uppgiftsnummer2, ...

  1. 1.1: 47a,b, 48. 1.2: 31. 1.4: 27, 57. 1.5: 17. 1.6: 37, 63.
  2. 1.5: 3, 17, 19, 28. 1.6: 14, 16, 29, 31.
  3. 2.1: 4, 6, 13, 14, 32. 2.2: 23, 29. 2.3: 2, 4, 30 (maplelösning).
  4. 3.1: 30, 32, 51. 3.2: 35, 36, 38, 40, 42-44.
  5. 3.3: 11, 18, 26, 29, 36, 46, 51, 52, 54.
  6. 3.4: 12. 3.5: 44, 47, 52, 58, 62. 3.7: 7.
  7. 4.1: 2, 5, 11, 12, 17, 21, 23.
  8. 4.2: 35, 36, 38, 48.
  9. 5.5: 9, 17, 25.
  10. 6.1: 2, 4, 6, 8, 27.
  11. 6.1: 28, 29, 30.

Lektioner i datorsal.

Dessa uppgifter har tydligare tillämpningskaraktär och är räknemässigt anpassade för datorbearbetning. För att analysera modellerna och ställa upp differentialekvationerna är det dock ofta lämpligt att använda papper och penna. Det allra bästa är att ha tänkt igenom problemen och ställt upp ekvationerna i förväg. Lösningsförslag till en del av uppgifterna finns men försök själv först. Den som inte använt Maple tidigare kan börja med att bekanta sig med programmet genom att arbeta med maplematerialet i litteraturlistan och föreläsning 2. Det kan vara bra att skriva ut innan lektionen.

  1. 1.2: 40. 1.4: 36, 48, 63.
  2. 1.5: 34. 2.1: 25. Lösningsförslag till en del av uppgifterna.
  3. 3.1(Application): 3. 3.2(Application): 20. 3.3(Application): 2, 6.
  4. 3.4: 10, 11. 3.5(Application): 1, 3, 6. 3.7: 1, 2, 3, 4. Lösningsförslag till en del av uppgifterna.
  5. 4.2: 6, 9, 16.
  6. 4.2: 31, 32, 34. Lösningsförslag till en del av uppgifterna.
  7. Appendix: 4, 8, 13, 15. Lösningsförslag till uppgifterna.
  8. 5.2: 4, 11, 26.
  9. 5.2: 49. 5.3: 11. Lösningsförslag till en del av uppgifterna.
  10. 5.4: 28, 32. 5.6: 26. Lösningsförslag till en del av uppgifterna.
  11. 6.1: 25. 6.2: 31, 32. 6.3: 33. 6.4: 7, 8, 20. Lösningsförslag till en del av uppgifterna

Gamla tentor


Sidansvarig: Hans Lundmark
Senast uppdaterad: 2019-11-29