Uppgift 2.1:25. Populationskinetik.
Differentialekvation enligt ekv. (3) sid. 79 läroboken.
 |
(5.1) |
Konstanterna k och M bestäms ur ekvationssystemet
![{dP[1] = `*`(k, `*`(P[1], `*`(`+`(M, `-`(P[1]))))), dP[2] = `*`(k, `*`(P[2], `*`(`+`(M, `-`(P[2])))))}](images/datorle1_98.gif){kind=small} |
(5.2) |
med lösningen
![{k = `+`(`-`(`/`(`*`(`+`(`*`(dP[2], `*`(P[1])), `-`(`*`(P[2], `*`(dP[1]))))), `*`(P[2], `*`(P[1], `*`(`+`(`-`(P[1]), P[2]))))))), M = `/`(`*`(`+`(`-`(`*`(`^`(P[2], 2), `*`(dP[1]))), `*`(dP[2], `*`(`^`...](images/datorle1_100.gif){kind=small} |
(5.3) |
Derivatorna approximeras med symmetriska differenskvoter och värdena på de givna storheterna sätts in i uttrycken för 
och 
vilket ger
 |
(5.4) |
Lösningen till differentialekvationen med begynnelsedata från år 1925 blir
![P(t) = `+`(`-`(`/`(`*`(P[1], `*`(M)), `*`(`+`(`-`(P[1]), `-`(`*`(exp(`+`(`-`(`*`(k, `*`(M, `*`(t)))))), `*`(M))), `*`(exp(`+`(`-`(`*`(k, `*`(M, `*`(t)))))), `*`(P[1])))))))](images/datorle1_106.gif){kind=small} |
(5.5) |
Tiden för populationen att växa till ett givet värde bestäms av ekvationen
![P[3] = `+`(`-`(`/`(`*`(P[1], `*`(M)), `*`(`+`(`-`(P[1]), `-`(`*`(exp(`+`(`-`(`*`(k, `*`(M, `*`(t)))))), `*`(M))), `*`(exp(`+`(`-`(`*`(k, `*`(M, `*`(t)))))), `*`(P[1])))))))](images/datorle1_108.gif){kind=small} |
(5.6) |
med lösningen
![`+`(`-`(`/`(`*`(ln(`/`(`*`(P[1], `*`(`+`(`-`(P[3]), M))), `*`(P[3], `*`(`+`(M, `-`(P[1]))))))), `*`(k, `*`(M)))))](images/datorle1_110.gif) |
(5.7) |
Med beräknade värden på 
och 
insatta får vi
![`+`(`-`(`*`(50.07069370, `*`(ln(`/`(`*`(P[1], `*`(`+`(`-`(P[3]), 100.4259690))), `*`(P[3], `*`(`+`(100.4259690, `-`(P[1]))))))))))](images/datorle1_114.gif){kind=small} |
(5.8) |
Populationen uppgår till 
individer år
 |
(5.9) |
Funktionen 
ger det minsta heltal som är 
.
 |
(5.10) |