Uppgift 6.2: 31 

restart; -1; with(DEtools); -1; with(LinearAlgebra); -1 

`:=`(f, `+`(`*`(`^`(y, 2)), `-`(1))) 

`+`(`*`(`^`(y, 2)), `-`(1)) (2.1)
 

`:=`(g, `+`(`*`(`^`(x, 3)), `-`(y))) 

`+`(`*`(`^`(x, 3)), `-`(y)) (2.2)
 

Bestäm jämviktspunkterna 

`:=`(jmv, solve({f, g})) 

{y = 1, x = 1}, {x = -1, y = -1}, {y = 1, x = `+`(`-`(1), `-`(RootOf(`+`(`*`(`^`(_Z, 2)), _Z, 1), label = _L3)))}, {x = `+`(RootOf(`+`(`*`(`^`(_Z, 2)), _Z, 1), label = _L3), 1), y = -1}
{y = 1, x = 1}, {x = -1, y = -1}, {y = 1, x = `+`(`-`(1), `-`(RootOf(`+`(`*`(`^`(_Z, 2)), _Z, 1), label = _L3)))}, {x = `+`(RootOf(`+`(`*`(`^`(_Z, 2)), _Z, 1), label = _L3), 1), y = -1}
(2.3)
 

Det är förstÃ¥s bara de reella värdena som är intressanta. 

Fasporträttet ger en uppfattning om stabiliteten. 

`:=`(fcn, {x = x(t), y = y(t)}) 

{x = x(t), y = y(t)} (2.4)
 

`:=`(syst, [(D(x))(t) = eval(f, fcn), (D(y))(t) = eval(g, fcn)]) 

[(D(x))(t) = `+`(`*`(`^`(y(t), 2)), `-`(1)), (D(y))(t) = `+`(`*`(`^`(x(t), 3)), `-`(y(t)))] (2.5)
 

DEplot(syst, [x(t), y(t)], t = -3 .. 8, [[x(0) = 0, y(0) = `/`(1, 4)], [x(0) = 0, y(0) = `/`(1, 2)], [x(0) = 0, y(0) = `/`(3, 4)], [x(0) = 0, y(0) = 2]], x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, arrows = MEDIUM, ste...
DEplot(syst, [x(t), y(t)], t = -3 .. 8, [[x(0) = 0, y(0) = `/`(1, 4)], [x(0) = 0, y(0) = `/`(1, 2)], [x(0) = 0, y(0) = `/`(3, 4)], [x(0) = 0, y(0) = 2]], x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, arrows = MEDIUM, ste...
DEplot(syst, [x(t), y(t)], t = -3 .. 8, [[x(0) = 0, y(0) = `/`(1, 4)], [x(0) = 0, y(0) = `/`(1, 2)], [x(0) = 0, y(0) = `/`(3, 4)], [x(0) = 0, y(0) = 2]], x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, arrows = MEDIUM, ste...
 

Plot_2d
 

Av allt att döma är en punkt asymptotiskt stabil och den andra instabil. Lineariseringen bekräftar detta. 

Koefficientmatrisen kan man bilda pÃ¥ följande sätt. 

`:=`(L, Matrix(%id = 4889372)) 

Matrix(%id = 7654156) (2.6)
 

sätt in jämviktspunkterna 

`:=`(P1, map(eval, L, jmv[1])) 

Matrix(%id = 21876956) (2.7)
 

varefter egenvärdena beräknas 

Eigenvalues(P1) 

Vector[column](%id = 21834196) (2.8)
 

Ett positivt egenvärde ger instabil jämvikt. 

`:=`(P2, map(eval, L, jmv[2])) 

Matrix(%id = 3607396) (2.9)
 

Eigenvalues(P2) 

Vector[column](%id = 8165388) (2.10)
 

BÃ¥da egenvärdena har negativ realdel. Asymptotiskt stabil jämvikt.