Göm meny

TATA40 Matematiska utblickar: Program läsåret 2015/16

Varje utblick ingår i ett eller flera av följande tre teman, som framgår av programmet nedan:

M: Matematisk breddning och/eller fördjupning.
H: Matematikens historia.
T: Matematikens användning inom teknik och naturvetenskap.

Fö 1: torsdag 17 sept 2015 kl. 10–12, sal A1

Hans Lundmark, MAI
Permutationer, symmetri och gruppteori [M]

En permutation av N stycken objekt (t.ex. talen 1 till N) är en uppräkning av dessa objekt i någon viss ordning. Exempelvis finns det 24 stycken permutationer av talen 1 till 4:

1234, 1243, 1324, 1342, …, 4312, 4321.

Alternativt kan man säga att en permutation är själva operationen att kasta om ordningen på objekten, så att t.ex. operationen ”byt plats på objekt nummer 2 och 4” är en permutation, liksom den triviala operationen ”låt alla element stå kvar i den ordning de står”. Fördelen med det senare synsättet är att det öppnar möjligheten att kombinera två permutationer och få en ny: utför först den ena omkastningen, därefter den andra, och se vad den sammanlagda effekten blir.

En symmetri hos ett geometriskt objekt är en geometrisk operation som inte ändrar objektets utseende; om man t.ex. vrider en liksidig triangel 120 grader kring dess mittpunkt så får man en triangel som är identisk med den ursprungliga. Ifall man utför två symmetrioperationer efter varandra får man en ny symmetrioperation, så även symmetrier kan kombineras.

Mängden av permutationer av N objekt och mängden av symmetrier för en given geometrisk form utgör exempel på det matematiska begreppet grupp. I den här föreläsningen ska vi bekanta oss med permutationer, symmetrier och några grundläggande begrepp i gruppteori. T.ex. kommer vi att se att gruppen bestående av de 24 permutationerna av talen 1 till 4 i en abstrakt mening är ”samma” grupp som den som består av de 24 rotationssymmetrierna hos en kub.

Fö 2: torsdag 24 sept 2015 kl. 10–12, sal C2

Nils-Hassan Quttineh, MAI
Optimeringslära – matematik som löser svåra och komplexa beslutsproblem [MT]

Optimeringslära är en gren av matematiken som går ut på att dels modellera (matematiskt beskriva) svåra och komplexa beslutsproblem, och dels att faktiskt hitta den optimala lösningen till problemet. Ett klassiskt optimeringsproblem, som är väldigt lätt att förstå men riktigt svårt att lösa, är det så kallade Handelsresandeproblemet (Traveling Salesman Problem, TSP). Problemet går ut på att besöka $n$ på förhand givna städer, med kända avstånd mellan samtliga städer, på ett sådant sätt att alla städer besöks precis en gång (och man återvänder till den stad man börjar i) och med målsättning att minimera den totala resvägen. Vi kommer att prata om detta klassiska optimeringsproblem, och beskriva hur man löser det i praktiken, men också titta på andra typiska beslutsproblem. För att visa på hur otroligt praktiskt användbar (verklighetsnära) denna matematik är kommer vi också att beskriva pågående forskningsprojekt som bedrivs på avdelningen för Optimeringslära här på LiU.

Fö 3: torsdag 1 okt 2015 kl. 10–12, sal C2

Jana Björn, MAI
Kardinalitet och oändliga mängder [M]

Vi skall jämföra antalet element i oändliga mängder, definiera vad det betyder att två mängder har lika många element och gå igenom begreppen uppräknelig och överuppräknelig mängd. Föreläsningen kommer att innehålla både grundläggande teori (som tidigare ingick i en kurs i Diskret matematik) och exempel med tillämpningar.

Litteratur: A. Björn, B. O. Turesson, Diskret matematik (Kap. 10), kompendium, Linköping 2001.

Fö 4: torsdag 8 okt 2015 kl. 10–12, sal A2

Hans Lundmark, MAI
Reella och inte fullt så reella tal [MH]

Vad man lägger i begreppet tal har varierat genom historiens gång. Positiva rationella tal har varit okontroversiella sedan urminnes tider, men irrationella och/eller negativa tal betraktades länge med skepsis, för att inte tala om de mystiska ”imaginära” talen. I differentialkalkylens barndom (slutet av 1600-talet) räknade man med ”infinitesimaler”, alltså tal som var mindre än varje ”vanligt” positivt tal, men ändå på något sätt större än noll. Svårigheten att förklara exakt vad dessa oändligt små tal var för något ledde till att man i början av 1800-talet kom att föredra att formulera analysens grunder med hjälp av ”epsilon och delta”-resonemang istället, som t.ex. i den definition av begreppet gränsvärde som används i analyskurserna än idag. Man håller sig då alltså inom det reella talsystemet, som innefattar irrationella tal, men inga oändligt små infinitesimaler, och heller inga oändligt stora tal. Märkligt nog dröjde det dock ända till mitten på 1800-talet innan Cantor och Dedekind var för sig föreslog precisa formuleringar av exakt vad man ska mena med begreppet ”reellt tal”. Denna föreläsning börjar med lite historik, och därefter ska vi översiktligt se på hur man kan definiera de reella talen, samt vad de har för egenskaper. Jag ska även försöka reda ut evighetsdebattfrågan om huruvida 0,999… är lika med 1 eller inte (svaret är ja!), och på slutet kanske vi hinner med en snabbtitt på moderna påfund som de hyperreella talen och de surrella talen, två talsystem som på varsitt sätt utökar de reella talen till att även innefatta oändligt små och oändligt stora tal. (De surrella talen generaliserar Dedekinds idé att definiera nya slags tal som snitt, dvs. par av mängder av tal, medan de hyperreella talen bygger på Cantors idé att definiera nya slags tal som ekvivalensklasser av talföljder.)

Fö 5: torsdag 19 nov sept 2015 kl. 10–12, sal A2

Torkel Glad, Reglerteknik, ISY
Hur flygplan flyger: egenvärden och egenvektorer [T]

Dynamiska system, t.ex. flygplan, beskrivs av differentialekvationer. I idealiserade fall är dessa linjära, och differentialekvationernas koefficienter kan "paketeras" i matriser. Det visar sig att egenvärdena och egenvektorerna till dessa matriser ger en god bild av beteendet. Detta är speciellt intressant om man inte är nöjd med beteendet utan vill förbättra det med ett styrsystem. Detta är i hög grad aktuellt för flygplan och numera bilar, men också för elektroniken i CD-spelare, mobiltelefoner och andra apparater. Ofta kan man se inverkan av ett styrsystem som att det flyttar egenvärden till önskade positioner i det komplexa talplanet. Detta ger systematiska sätt att konstruera sådana system.

Fö 6: torsdag 26 nov 2015 kl. 10–12, sal C4

Erik Larsson, Kommunikationssystem, ISY
Minsta-kvadrat-problem i kommunikationssystem [T]

Den här föreläsningen kommer att ge inblick i tillämpningar av minsta-kvadrat-problem i kommunikationsmottagare. Vi kommer se exempel på både minsta-kvadrat-problem utan bivillkor och sådana med heltalsbivillkor. Vi kommer prata om varför dessa problem uppkommer och kort om utmaningarna med att lösa dem.

Förkunskaper: Grundläggande linjär algebra (vektorer, matriser, matrisinvers).

Fö 7: torsdag 3 dec 2015 kl. 10–12, sal A1

Hans Lundmark, MAI
Visualisering av komplexvärda funktioner [M]

Det vanliga sättet att visualisera en funktion y=f(x), där x och y är reella variabler, är att rita dess graf. Men om man har en funktion där variablerna är komplexa, säg w=f(z), så får man problem. För att kunna rita grafen direkt skulle man ju behöva ett fyrdimensionellt koordinatsystem, med två axlar för z (realdel och imaginärdel) och två axlar för w. Jag ska berätta om några sätt att visualisera sådana funktioner, speciellt en metod som kallas domain coloring (färgläggning av definitionsmängden). Den ger upphov till färgbilder som inte bara är vackra utan dessutom avslöjar intressanta matematiska fenomen som man inte ser när man inskränker sig till reella variabler. Redan så enkla funktioner som polynom bjuder på överraskningar, och vi ska även titta på andra elementära funktioner, till exempel w=exp(z) och w=sin(z).

Fö 8: torsdag 10 dec 2015 kl. 10–12, sal C2

Magnus Herberthson, MAI
Introduktion till den speciella relativitetsteorin [T]

Einsteins speciella relativitetsteori från 1905 är ett specialfall av den allmänna relativitetsteorin (1915) på så sätt att att man bortser från rummets krökning. I och med det kan universum beskrivas med hjälp av ett vektorrum, det så kallade Minkowskirummet. Vi skall se hur det enda antagandet att ljushastigheten, c, är densamma för alla observatörer leder till begrepp som längdkontraktion och tidsdilatation.

Fö 9: torsdag 18 feb 2016 kl. 10–12, sal C1

Stefan Rauch, MAI
Mathematical description and analysis of motion of spinning tops [MT]

Children's toys like the spinning top or the tippe top invariably awake curiosity, since their behaviour defies our intuitive expectation of how these bodies should move. Everything happens, however, in accordance with Newton's well-known second law of mechanics which says that mass times acceleration equals the sum of the external forces acting on the body: $$ m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = \sum_i \mathbf{F}_i(\mathbf{r}) , $$ where $\mathbf{r}$ is the position vector. I shall explain the mathematical way of describing motion of a rigid body through second order differential equations. The difficult part is analyzing and solving these equations, but we can read the equations and understand the qualitative properties of solutions for the spinning tops without doing many calculations. I will show computer simulations of motion for a tippe top rolling in the plane, and also demonstrate other toys that defy our intuition for how they are expected to move.

Fö 10: torsdag 25 feb 2016 kl. 10–12, sal C4

Jan Åslund, Fordonssystem, ISY
Modellbaserad diagnos [T]

Modellbaserad diagnos går ut på att upptäcka fel i ett tekniskt system. När ett fel upptäcks genereras en diagnos som t.ex. en servicetekniker kan använda för att avgöra vilka komponenter som behöver bytas ut. I analysen utgår vi ifrån en matematisk modell av systemet samt mätdata från sensorer för att kunna dra slutsatser om någon del av systemet inte fungerar som den förväntas göra. Jag kommer att berätta lite om vilka matematiska verktyg som vi använder och framförallt diagnosproblemets koppling till lösbarhet av överbestämda ekvationssystem.

Fö 11: torsdag 3 mars 2016 kl. 10–12, sal A2

Hans Lundmark, MAI
Att multiplicera vektorer [MH]

I grundläggande kurser i linjär algebra behandlas skalärprodukt (eller inre produkt) $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ och kryssprodukt $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$. Kryssprodukten är bara definierad i tre dimensioner, och en sak som många studenter brukar undra är om det finns någonting liknande i andra dimensioner.

I den här föreläsningen ska vi se att svaret är ja, om man släpper på kravet att en vektor gånger en vektor ska bli en vektor, och istället inför ett slags flerdimensionella geometriska storheter som kallas multivektorer. Då kan man definiera Grassmanns yttre produkt (även kallad kilprodukt eftersom den skrivs $\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}$), som är sådan att en vektor gånger en vektor blir en bivektor, produkten av tre vektorer blir en trivektor, och så vidare. Den yttre produkten representerar det underrum som de multiplicerade vektorerna spänner upp, och den blir noll om och endast om faktorerna är linjärt beroende. En trevlig sak är att begreppet determinant, som kan synas mystiskt när man först stöter på det, uppkommer på ett väldigt naturligt sätt i detta sammanhang.

Ett annat tankespår som vi ska följa går via de komplexa talen $a+bi$ och Hamiltons kvaternioner $a+bi+cj+dk$ till Cliffordprodukten (ibland kallad den geometriska produkten) som förenar de inre och yttre produkterna i en enda produkt $\mathbf{u} \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \wedge \mathbf{v}$. Detta sätt att multiplicera (multi)vektorer kan bl.a. användas för att räkna på vridningar och projektioner i godtycklig dimension. Cliffordprodukten används i många sammanhang i modern matematisk fysik, t.ex. i kvantmekaniken i form av Pauli- och Diracmatriser, och även i den speciella relativitetsteorin där Lorentztransformationer kan ses som "vridningar" i den fyrdimensionella rumtiden.

Fö 12: torsdag 10 mars 2016 kl. 10–12, sal C2

Anders Björn, MAI
Serier, primtal och tegelstenar [M]

Vi ska börja med att titta på hur man ska stapla tegelstenar på varandra för att få ett så stort överhäng som möjligt. Därefter ska vi diskutera lite olika problem som har med konvergens av serier att göra. Bl.a. ska vi titta på serierna $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad\text{och}\qquad \sum \frac{1}{p} , $$ där den senare summan är över primtalen $p=2,3,5,7,11,\ldots$. Vi ska inte bara nöja oss med att avgöra om serierna konvergerar eller divergerar utan i det senare fallet också avgöra hur snabbt (långsamt) de divergerar. Därefter ska vi titta på några andra serier med viss anknytning till talteori, och också se hur primtal kan vara praktiskt användbara till annat än kryptering (primtalen är en fundamental del av de krypteringssystem som bl.a. används för säker överföring av information på internet).

Fö 13: torsdag 21 april 2016 kl. 10–12, sal C3

Hans Lundmark, MAI
Jongleringsteori [M]

Vi roar oss med att utforska den matematiska teoring för jonglering!

  • Artikel om siteswap-notation på engelska Wikipedia.
  • Siteswap.org har många länkar till ytterligare information.
  • Förenklade tillståndsdiagram för siteswap (från Hans Lundmarks hemsida).
  • Hur blir det om man tillåter negativa kast i siteswaps? Svar: Bollar som kastas bakåt i tiden kan tolkas som antibollar som kastas framåt i tiden! High Energy Juggling av Andrew Conway ger en humoristisk förklaring av detta.
  • Och bara som ett exempel på att detta inte enbart är lek, här är den antagligen mest avancerade matematiska tillämpningen av jongleringsrelaterade saker hittills: Positroid varieties: juggling and geometry av Allen Knutson, Thomas Lam och and David E. Speyer. (Forskningsartikel inom algebraisk geometri/kombinatorik.)

Fö 14: torsdag 28 apr 2016 kl. 10–12, sal C3

Mats Aigner, MAI
Knutteori [M]

Med matematikens hjälp kan man ibland få insikter om knutar som det annars vore svårt att trassla sig fram till. Vi definierar det så kallade Jones-polynomet för en knut och förklarar ett lustigt reptrick.

Fö 15: torsdag 12 maj 2016 kl. 10–12, sal C3

Jesper Thorén, MAI
Kryptering – matematik i säkerhetens tjänst [MT]

Vi diskuterar och ger exempel på en del moderna (och omoderna) krypteringsmetoder som använts genom historien.

Fö 16: torsdag 19 maj 2016 kl. 10–12, sal C3

Uno Wennergren, Teoretisk biologi, Teori och modellering, IFM
Räkna med ekologisk odling [T]

I jordbruket försöker man optimera sin skörd genom att reglera förutsättningar för de grödor man odlar. Inom ekologisk odling har man tagit bort en del av de traditionella metoderna för denna reglering, dvs. konstgödsel och bekämpningsmedel. En ekologisk odlare är därför hänvisad till andra metoder för att optimera sin skörd. Med hjälp av matematiska modeller försöker man idag finna metoder att minska förekomsten av skadegörande insekter o.dyl. i grödan. Detta problem består av ett antal komponenter, t.ex. hur påverkas populationstillväxten hos skadegöraren av den yttre variationen i sådant som temperatur, fuktighet, vind m.m.? Hur påverkas förekomsten av naturliga fiender till skadegörarna av intilliggande habitat? Hur kan man använda snälla bekämpningsmedel som bryts ner snabbt men är mindre effektiva? Den här typen av problem kan formuleras matematiskt med hjälp av modeller som beskriver ovanstående processer. Modellerna kan formuleras som differentialekvationer och därefter löses de analytiskt eller numeriskt. De kan också förenklas till diskreta modeller och därefter kan man använda linjär algebra. Har man formulerat dem som diskreta modeller finns det också ett antal analytiska metoder att använda om man vill hitta former för att optimera förutsättningarna för en ekologisk odlare.

Böcker:

Vetenskapliga artiklar:


Sidansvarig: Hans Lundmark
Senast uppdaterad: 2019-11-29