Homepage
TATA69 Flervariabelanalys: Repetition/Sammanfattning
Nedan går jag igenom en del teori, samt en del tentauppgifter som repetition/sammanfattning, samt skriver kortfattat ner viktiga moment man behöver kunna.
Detta ska inte ses som en heltäckande repetition av kursen.
Överst i videorna med tentauppgifter står uppgift och tentamensdatum, och tenta med lösningar finns på sidan med gamla tentor som kan nås från menyn till vänster.
Notera att detta bara är ett komplement till föreläsningarna, och ett alternativ för den som tycker att det vore bra att repetera ett visst moment.
Funktioner, Mängder:
Hela kursen bygger på att man har en förståelse för funktioner av flera variabler. När det gäller mängder måste man kunna skriva om dessa på olika sätt i samband med dubbel- och trippelintegraler. Man behöver också kunna polära/sfäriska koordinater som ofta är användbara både i samband med gränsvärden och dubbel/trippelintegraler.Gränsvärden, Kontinuitet:
Man måste kunna visa när ett gränsvärde existerar (med uppskattning eller med polära/sfäriska koordinater t ex), samt i de fall det inte existerar hitta olika kurvor som går in mot punkten där funktionen går mot olika värden längs dessa. (I videon nedan är det exempel på båda dessa fall.)Att en funktion är kontinuerlig i en punkt betyder per definition att gränsvärdet av denna när vi går in mot punkten är detsamma som funktionsvärdet i punkten, så problem rörande kontinuitet reduceras till en fråga om gränsvärden.
Partiella derivator, gradient, riktningsderivator, tangentplan, kedjeregeln:
Man måste kunna beräkna partiella derivator (samt använda rätt beteckningar), vilket enbart betyder att man behandlar de variabler man inte deriverar med avseende på som konstanter.Man måste kunna formeln för gradienten (som är en vektor) uttryckt i partialderivatorna till en funktion, samt formeln för riktningsderivatan (som är en skalär).
Man måste kunna formeln för tangentplan till en graf. (OBS! blanda inte ihop med fallet nivåyta! Se längre ned.)
Man måste kunna kedjeregeln, hantera denna samt (oftast med ett föreslaget variabelbyte) lösa vissa typer av partiella differentialekvationer.
Man måste kunna bestämma potentialer (dvs lösa en viss typ av system av första ordningens partiella differentialekvationer).
Taylorutvecklingar, lokala extrempunkter:
Man måste kunna Taylors formel med ordorestterm (främst av ordning 2 i två och tre variabler).Man måste kunna andraderivatatestet (OBS! glöm inte att kolla att vi har en stationär/kritisk punkt), samt på ett tydligt sätt argumentera för vilken teckenkaraktär den kvadratiska formen i Taylorutvecklingen har.
Man måste också kunna argumentera mer direkt i enklare fall där andraderivatatestet inte är tillämpbart (antingen att funktionen inte är tillräckligt deriverbar, eller att den kvadratiska formen är semidefinit), utgående från definitionen av lokala max/min.
Kurvor och ytor:
Man måste veta att gradienten pekar i normalriktningen till en nivåkurva/nivåyta. (OBS! Blanda inte ihop med fallet för grafer. Se ovan.)Man måste veta att derivatan av en parameterkurva ger en tangentvektor till kurvan.
Man måste på samma sätt veta att partialderivatorna till en parameteryta med avseende på parametrarna ger tangentvektorer till ytan, och att man genom att kryssa dessa kan få en normalvektor till ytan.
Inversa- och implicita funktionssatsen, implicit derivering:
Inversa funktionssatsen ger villkor på när en funktion är lokalt inverterbar i termer av den så kallade funktionaldeterminanten till avbildningen.Man måste kunna implicita funktionssatsen i de tre fallen som främst behandlas i denna kurs (en ekvation i två respektive tre variabler, eller två ekvationer i tre variabler), samt på ett tydligt sätt tillämpa denna i dessa fall.
Man måste sedan också kunna utföra så kallad implicit derivering (där vi har två alternativ, där man antingen deriverar en ekvation direkt för hand och löser ut den sökta derivatan, eller tillämpar kedjeregeln på en "allmän" ekvation först).
Dubbel- och trippelintegraler:
Man måste kunna iterera dubbel- och trippelintegraler med Fubinis sats för lämpliga områden (för trippelintegraler har vi två alternativ att dela upp området i antingen skivor eller stavar).Man måste kunna utföra variabelbyten i integralerna (OBS! Glöm inte skalfaktorn!). Inte minst gå över till polära/sfäriska koordinater samt att "rikta upp" vissa områden med hjälp av linjära variabelbyten.
Man måste kunna beräkna vissa volymer (vilket bara är att ta trippelintegralen av den konstanta funktionen 1 över området).
Generaliserad dubbel- och trippelintegraler:
Man måste först kunna avgöra om en integral är generaliserad och på vilket sätt (dvs antingen obegränsad integrand eller obegränsat integrationsområde, eller både och).Man måste kontrollera om man har en integrand som växlar tecken (och i så fall dela upp integrationsområdet i två delar där integranden är positiv på den ena delen och negativ på den andra).
Man måste sedan kunna hantera en generaliserad integral med en integrand som inte växlar tecken, antingen via Fubinis sats och/eller variabelbyten eller via en uttömmande följd.
Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2021-05-21