Homepage
TATA45, frivilliga inlämningsuppgifter 2025, kommentarer till uppgifterna
Nya kommentarer 2025 skrivs så här.
OBS! Numreringen för Exempel och Övningar nedan avser kompendiet 2023 (och 2021). Har ni äldre upplagor av kompendiet, ladda ned kompendiet 2023 och hitta rätt Exempel och Övningar där, eftersom numren kan ha ändrats.
Under kursens gång – redan innan motsvarande omgång har publicerats – kommer det här dyka upp kommentarer till uppgifterna och förslag på liknande exempel och övningar som kan vara bra att titta lite extra på innan (halva) omgången publiceras.
1.1
→ Jfr Övning 1.21
Minns hur motsvarande problem hanteras i Envariabelanalys 1 – det går till på samma sätt här, med den lilla skillnaden är att vi har komplexa tal och variabler i stället för reella.
En motsvarande uppgift i Envar 1 är:
Bestäm definitionsmängden för f(x) = (x³+1)/(x²−1), och definiera om möjligt f i undantagspunkterna så att f blir kontinuerlig även där.
Genom att lösa ekvationen x²−1 = 0 ser vi till att börja med att f är definierad utom i punkterna 1 och −1. Vi undersöker sedan om f har (ändliga) gränsvärden när x närmar sig dessa punkter.
x → 1: Eftersom täljaren (x³+1) → 2 ≠ 0 och nämnaren (x²−1) → 0 då x → 1 inser vi att |f(x)| → ∞ då x → 1, så vi kan inte definiera f(1) så att f blir kontinuerlig i punkten 1.
x → −1: Vi får ett gränsvärde av typen [0/0]. Bryter vi ut den gemensamma faktorn (x+1) i täljare och nämnare, förkortar, och sedan låter x → −1 får vi
f(x) = (x³+1)/(x²−1) = (x²−x+1)/(x−1) → 3/(−2) = −3/2 då x→−1, så om vi definierar f(−1) = −3/2 blir f kontinuerlig i punkten −1.
Lösningarna till de enkla andragradsekvationerna w2 = reellt tal får skrivas upp direkt, utan att gå via ansats w = u+iv (eller w = r eiθ).
1.2
→ Jfr Exempel 1.35 och Övning 1.29
1.3
→ Jfr Exempel 2.6 (första delen), Övning 2.5 och Övning 2.12
Att logaritmgrenen L(z) ger upphov till grenen f(z) till z1/2 betyder alltså att f(z) = exp(L(z)/2), se sidan 28 i kompendiet.
Observera att det i Övning 2.12 handlar om principalgrenen, till skillnad från i inlämningsuppgift 1.3.
1.4
→ Jfr Exempel 1.1, Övning 1.9a och Övning 2.21a
Den komplexa andragradsekvation som uppstår här måste lösas fullständigt. Det räcker inte att lösa den med räknehjälpmedel eller prövning och sedan bara verifiera att det stämmer, eller att bara skriva upp en faktorisering av motsvarande andragradspolynom utan att visa hur man kom fram till faktoriseringen.
Svaret ska ges i rektangulär form z = a + ib, där a och b är reella och förenklade – svaret får alltså inte innehålla några outräknade logaritmer, belopp eller argument av komplexa tal (av typen log(1+i), |1+i| eller arg(1+i).
2.1
→ Jfr Exempel 3.5, Övning 3.2 och Övning 3.3
När man parametriserar en sträcka (alltså en bit av en rät linje, raka spåret) måste man inte ha just t : 0 → 1, utan ofta är det mera praktiskt att välja ett annat parameterintervall, till exempel t : 0 → −2 eller t : −1 → 4, beroende på vilken sträcka man ska parametrisera.
2.2
→ Jfr Exempel 3.38 och Övning 3.19 (delen som handlar om maximum)
Undersökningen med triangelolikheten (som görs i Exempel 3.38) behöver ni inte göra om ni inte vill.
Var noga med att visa att de värden ni får fram i (a) och (b) verkligen är maxima, på samma sätt som i Envariabelanalys 1 (funktionsundersökning) eller i Matematisk grundkurs (kvadratkomplettering).
2.3
→ Jfr Exempel 4.35 och Övning 4.14
Utvecklingarna för cos z, sin z, cosh z och sinh z räknas som standardutvecklingar (liksom utvecklingarna för exp z, Log(1+z) och PV (1+z)α)
Vid bestämningen av Maclaurinseriens konvergensradie R räcker det att motivera att täljaren ≠ 0 i relevanta punkter.
2.4
→ Jfr Exempel 4.30, Övning 4.16 och Övning 4.17
Det går bra att svara med en summa av flera serier, som i Exempel 4.30.
Termerna ska uttryckas med potenser av (z-c), inte av till exempel (-(z-c)) eller ((z-c)/3) eller liknande (här är c centrum för din ring). Det behöver inte vara exakt (z-c)n, utan (z-c)n+1 och liknande är OK.
3.1
→ Jfr Exempel 5.11 och Övning 5.7abc
Lätt att kontrollera svaret med räknehjälpmedel. Fel svar ⇒ underkänd uppgift.
3.2
→ Jfr Exempel 5.18 och Övning 5.13b
Lätt att kontrollera svaret med räknehjälpmedel (testa några lämpligt valda a). Fel svar ⇒ underkänd uppgift.
3.3
→ Jfr Exempel 6.5, Övning 6.3 och Övning 6.4
Lätt att kontrollera svaret med räknehjälpmedel. Fel svar ⇒ underkänd uppgift.
3.4
→ Jfr Exempel 6.11 och Övning 6.8c
Sidansvarig: Lars Alexandersson
Senast uppdaterad: 2025-12-04