MAI - Matematiska institutionen

Hans Lundmark, MAI
Jongleringsteori [M]

Vi roar oss med att utforska den matematiska teoring för jonglering!

• Presentationen från föreläsningen (pdf).
• Artikel om siteswap-notation på engelska Wikipedia.
• Siteswap.org har många länkar till ytterligare information.
• Förenklade tillståndsdiagram för siteswap (från Hans Lundmarks hemsida).
• Hur blir det om man tillåter negativa kast i siteswaps? Svar: Bollar som kastas bakåt i tiden kan tolkas som antibollar som kastas framåt i tiden! High Energy Juggling av Andrew Conway ger en humoristisk förklaring av detta. Se även videon Negative Siteswaps 1 på YouTube.
• Andra föredrag om matematik och jonglering på YouTube: Colin Wright, Allen Knutson.
• Videor på YouTube-kanalen Numberphile med Ron Graham (matematiker och jonglör) och Neil Sloane (grundare av OEIS).
• Och bara som ett exempel på att detta inte enbart är lek, här är den antagligen mest avancerade matematiska tillämpningen av jongleringsrelaterade saker hittills: Positroid varieties: juggling and geometry av Allen Knutson, Thomas Lam och and David E. Speyer. (Forskningsartikel från 2013 inom algebraisk geometri/kombinatorik.)

Jana Björn, MAI
Kardinalitet och oändliga mängder [M]

Vi skall jämföra antalet element i oändliga mängder, definiera vad det betyder att två mängder har lika många element och gå igenom begreppen uppräknelig och överuppräknelig mängd. Föreläsningen kommer att innehålla både grundläggande teori (som tidigare ingick i en kurs i Diskret matematik) och exempel med tillämpningar.

Litteratur: A. Björn, B. O. Turesson, Diskret matematik (Kap. 10), kompendium, Linköping 2001.

Hans Lundmark, MAI
Några berömda tidiga 1800-talsmatematiker [H]

I denna föreläsning kommer vi att bekanta oss med ett urval av kända matematiker verksamma under första hälften av 1800-talet (Gauss, Cauchy, Abel, Galois, Riemann, m.fl.). Det blir lite blandat smått och gott om deras liv och matematiska upptäckter.

• Presentationen från föreläsningen (pdf).
• Den polske konstnären Tomasz Broda har gjort humoristiska skulpturer av några kända matematiker: följ denna länk och gå ner en bit på sidan för att hitta bilderna. (T.ex. är Gauss och Riemann med.)

Hans Lundmark, MAI
Om talet π=3,1415926535… [MH]

Denna utblick bjuder på lite historik och diverse fascinerande fakta om den berömda konstanten π (pi).

• Presentationen från föreläsningen (pdf).

Några boktips:

• The Joy of Pi av David Blatner.
• Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number av Alfred S. Posamentier & Ingmar Lehmann.
• φ, π, e & i av David Perkins.
• Pi – Unleashed av Jörg Arndt & Christoph Haenel.
• The Number Pi av Pierre Eymard & Jean-Pierre Lafon.
• A History of Pi av Petr Beckmann.
• Pi: A Source Book av Lennart Berggren, Jonathan Borwein & Peter Borwein.
• Mathematical Constants och Mathematical Constants II av Steven R. Finch.

Magnus Herberthson, MAI
Introduktion till den speciella relativitetsteorin [T]

Einsteins speciella relativitetsteori från 1905 är ett specialfall av den allmänna relativitetsteorin (1915) på så sätt att att man bortser från rummets krökning. I och med det kan universum beskrivas med hjälp av ett vektorrum, det så kallade Minkowskirummet. Vi skall se hur det enda antagandet att ljushastigheten, c, är densamma för alla observatörer leder till begrepp som längdkontraktion och tidsdilatation.

Litteratur:

• Principles of Cosmology and Gravitation av M. V. Berry.
• Introducing Einstein's Relativity av Ray d'Inverno.
• Rumtid – en introduktion till Einsteins relativitetsteori av Sören Holst.

Torkel Glad, Reglerteknik, ISY
Hur flygplan flyger: egenvärden och egenvektorer [T]

Dynamiska system, t.ex. flygplan, beskrivs av differentialekvationer. I idealiserade fall är dessa linjära, och differentialekvationernas koefficienter kan "paketeras" i matriser. Det visar sig att egenvärdena och egenvektorerna till dessa matriser ger en god bild av beteendet. Detta är speciellt intressant om man inte är nöjd med beteendet utan vill förbättra det med ett styrsystem. Detta är i hög grad aktuellt för flygplan och numera bilar, men också för elektroniken i CD-spelare, mobiltelefoner och andra apparater. Ofta kan man se inverkan av ett styrsystem som att det flyttar egenvärden till önskade positioner i det komplexa talplanet. Detta ger systematiska sätt att konstruera sådana system.

• Avdelningen Reglerteknik på ISY och Torkel Glads hemsida.

Hans Lundmark, MAI
Talsystem, del 1: Reella tal (med mera) [MH]

Vad man lägger i begreppet tal har varierat genom historiens gång. Positiva rationella tal har varit ganska okontroversiella sedan urminnes tider, men irrationella tal och negativa tal betraktades länge med skepsis, för att inte tala om de mystiska ”imaginära” talen. I differentialkalkylens barndom (slutet av 1600-talet) räknade man med ”infinitesimaler”, tal som var mindre än varje ”vanligt” positivt tal, men ändå på något sätt större än noll. Svårigheten att förklara exakt vad dessa oändligt små tal var för något ledde till att man under 1800-talet gradvis kom att föredra att formulera analysens grunder med hjälp av ”epsilon och delta”-resonemang istället, som t.ex. i den definition av begreppet gränsvärde som används i analyskurserna än idag. Man håller sig då alltså inom det reella talsystemet, som innefattar irrationella tal, men inga infinitesimaler, och heller inga oändligt stora tal. Märkligt nog dröjde det dock ända till långt in på 1800-talet innan Cantor och Dedekind var för sig föreslog precisa formuleringar av exakt vad man ska mena med begreppet ”reellt tal”. Och det var också först på 1800-talet som man på allvar började fundera över de logiska grunderna för vanlig heltalsaritmetik och bråkräkning.

Denna föreläsning börjar med lite historik, och därefter ska jag översiktligt försöka förklara hur man stegvis kan bygga upp teorin för de naturliga talen, de hela talen (inklusive negativa heltal), de rationella talen, och till slut de reella talen. (Vi kommer också in på ett litet sidospår om Cantors s.k. kardinaltal och ordinaltal.)

Som belöning för besväret kommer vi sedan bland annat att slutgiltigt kunna besvara evighetsdebattfrågan om huruvida 0,999999… och 1 är två olika tal eller bara två olika sätt att skriva det reella talet ”ett”.

• Presentationen från föreläsningen (pdf).
• En trevlig bok som tar upp mycket av det som behandlas på föreläsningen är Which Numbers are Real? av Michael Henle (som man kan läsa online via universitetsbiblioteket).
• En annat lästips är The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis [hylla 511 på Vallabiblioteket] av John Stillwell, som även har skrivit en bra introduktion till matematikens historia: Mathematics and Its History [hylla 510.9].
• På engelskspråkiga Wikipedia finns massor att läsa om de rella talen: Real number, Construction of the real numbers, 0.999…, och mycket annat.
• Numberphile-video från januari 2022 med liknande ämne som denna utblick: What is a Number? med Asaf Karagila.
• The Natural Number Game, ett spel som körs i webbläsaren (byggt på programmeringsspråket/bevisassistenten Lean) där målet är att bygga upp teorin för de naturliga talen genom att utgående från Peanos axiom bevisa att addition, multiplikation och exponentiering uppfyller de vanliga räknelagarna. (Det finns några ytterligare spel av liknande slag på Lean Game Server.)

Hans Lundmark, MAI
Talsystem, del 2: Hyperreella och surreella tal [M]

Som en fortsättning på Fö 7 ska vi denna gång lära känna Abraham Robinsons hyperreella tal (från 1960-talet) och John Conways surrella tal (från 1970-talet), två talsystem som på varsitt sätt utökar det reella talsystemet till att även innefatta oändligt små och oändligt stora tal. De hyperreella talen, som används inom ickestandardanalys, bygger på Cantors idé som vi såg förra gången, att man kan definiera nya slags tal som ekvivalensklasser av talföljder. De surrella talen, med ursprung i kombinatorisk spelteori, fås å andra sidan genom att kombinera två andra idéer från förra utblicken, nämligen Dedekinds metod att definiera nya slags tal som Dedekindsnitt (par av talmängder) och von Neumanns mängdlära-konstruktion av ordinaltalen ”ur tomma intet”.

• Presentationen från föreläsningen (pdf).
• Om de surreella (surrealistiska?) talen på Wikipedia: Surreal number. Och om deras skapare: John Conway, en färgstark personlighet och en extremt originell och kreativ tänkare. Standardverket om surrella tal är Conways bok On Numbers and Games [hylla 512.7 på Vallabiblioteket]. En något märklig introduktion i form av en ”mini-roman” är Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness [hylla T] av Donald Knuth. (På YouTube-kanalen Numberphile finns en intervju med Knuth om skrivandet av denna bok).
• En föreläsning med Conway själv om de surrella talen.
• Om de hyperreella talen på Wikipedia: Hyperreal number (inte världens mest lättlästa artikel tyvärr). För någonting läsvänligare, prova en introduktion skriven av J. G. Hermoso. En av vår tids mest framstående matematiker, Terence Tao, har skrivit en del om saken på sin blogg: Ultrafilters, nonstandard analysis, and epsilon management. Den som vill lära sig ämnet från grunden kan ta sig an den utmärkta boken Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis [hylla 515.8] av Robert Goldblatt. En grundläggande analyslärobok (fritt tillgänglig i PDF-format) som använder det hyperreella talsystemet är Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach av H. Jerome Keisler.
• Föreläsningsanteckningar av Alexandre Kirillov (University of Pennsylvania), med liknande tema som dessa två utblickar (men lite mer avancerat): What are numbers? (Part I), What are numbers? (Part II).

Hans Lundmark, MAI
Visualisering av komplexvärda funktioner [M]

Det vanliga sättet att visualisera en funktion y=f(x), där x och y är reella variabler, är att rita dess graf. Men om man har en funktion där variablerna är komplexa, säg w=f(z), så får man problem. För att kunna rita grafen direkt skulle man ju behöva ett fyrdimensionellt koordinatsystem, med två axlar för z (realdel och imaginärdel) och två axlar för w. Jag ska berätta om några sätt att visualisera sådana funktioner, speciellt en metod som kallas domain coloring (färgläggning av definitionsmängden). Den ger upphov till färgbilder som inte bara är vackra utan dessutom avslöjar intressanta matematiska fenomen som man inte ser när man inskränker sig till reella variabler. Redan så enkla funktioner som polynom bjuder på överraskningar, och vi ska även titta på andra elementära funktioner, till exempel w=exp(z) och w=sin(z).

• Mer material på Hans Lundmarks hemsida.
• Kortfilmen Möbius Transformations Revealed på YouTube. Filmmakarna har även gjort en hemsida för filmen där man kan läsa mer och ladda ner en högupplöst version.
• En inzoomning i Mandelbrotmängden på YouTube.
• Litteratur: TATA45 Komplex analys av Lars Alexandersson (utmärkt kompendium på svenska till kursen TATA45; säljs i Kårallen, och kan också laddas ner från kurshemsidan), Visual Complex Analysis av Tristan Needham, Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits av Elias Wegert, Complex Variables av Mark J. Ablowitz och Athanassios S. Fokas.

Hans Lundmark, MAI
Några berömda 1900-talsmatematiker [H]

Denna föreläsning bjuder på en kavalkad av 1900-talsverksamma matematiker, vars liv och verk vi ska försöka lära känna lite: Hilbert, Noether, Gödel, Turing, Ramanujan, Erdős, Grothendieck, Conway, m.fl.

• Hilberts radiotal från 1930. Även här, med transkription och engelsk översättning.
• Filmsnuttar med bl.a. Hilbert som skottar snö. Filmat i Göttingen på 1920-talet av Richard Courant, som också är berättarrösten. Hämtat från Göttingen and New York: Reflections of a Life in Mathematics, en dokumentärfilm från 1966 om Courant (42 minuter).
• Hilberts samlade verk (Gesammelte Abhandlungen) i digitaliserad form: volym 1, volym 2, volym 3.
• Artikeln The Indian Mathematician Ramanujan (Amer. Math. Monthly, 1937), där G. H. Hardy återger sina minnen av Ramanujan.
• Ramanujan: Letters from an Indian Clerk. Dokumentärfilm från 1987 (52 minuter).
• The Rising Sea och The Generalist. Blogginlägg av Steve Landsburg om Grothendieck och hans sätt att angripa matematiska problem.
• Good Shurik Grothendieck. Blogginlägg av James Propp som filosoferar lite om Grothendieck och filmen Good Will Hunting.
• Videor med John Conway på Numberphile.
• Conways artikel "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay" återfinns i nummer 46 av Eureka, tidskrift för matematikstudentsällskapet The Archimedeans i Cambridge.
• Game of Life: online-simulator och implementation av digitalur.

Anders Björn, MAI
Serier, primtal och tegelstenar [M]

Vi ska börja med att titta på hur man ska stapla tegelstenar på varandra för att få ett så stort överhäng som möjligt. Därefter ska vi diskutera lite olika problem som har med konvergens av serier att göra. Bl.a. ska vi titta på serierna $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad\text{och}\qquad \sum \frac{1}{p} , $$ där den senare summan är över primtalen \(p=2,3,5,7,11,\ldots\) Vi ska inte bara nöja oss med att avgöra om serierna konvergerar eller divergerar utan i det senare fallet också avgöra hur snabbt (långsamt) de divergerar. Därefter ska vi titta på några andra serier med viss anknytning till talteori, och också se hur primtal kan vara praktiskt användbara till annat än kryptering (primtalen är en fundamental del av de krypteringssystem som bl.a. används för säker överföring av information på internet).

Erik G. Larsson, Kommunikationssystem, ISY
(Ämne annonseras senare.)

Vladimir Tkatjev, MAI
(Ämne annonseras senare.)

Jonathan Nilsson, MAI
Kombinatorisk spelteori. [M]

Tre-i-rad, Schack och Go är exempel på kombinatoriska spel. I sådana spel har spelarna fullständig information om spelets tillstånd, och inga slumpmoment såsom tärningskast är inblandade. I detta föredrag ska vi fokusera på spel där den första spelaren som inte kan göra ett giltigt drag förlorar, och där detta alltid sker efter ändligt många drag. I denna klass av spel har alltid den ena spelaren en vinnande strategi, alltså en algoritm för att välja drag som leder till vinst oavsett vad motspelaren gör. I föredraget introducerar jag ett antal enklare kombinatoriska spel såsom Hackenbush, Domineering och Col. Jag diskuterar vinnande strategier i dessa spel, och hur man kan tillskriva numeriska värden till många spelpositioner. Detta leder till en sorts aritmetik för spel, och en koppling till de Surreella tal som tidigare diskuterats på Fö 8.

Materialet som gås igenom baseras till stor del på boken Winning Ways for your Mathematical Plays av Berlekamp, Conway och Guy.

• Jonathan Nilssons YouTube-kanal Blue Vertex.
• HACKENBUSH: a window to a new world of math. YouTube-video av Owen Maitzen med liknande tema som denna utblick.

Göran Bergqvist, MAI
Neuronnät [MT]

Neuronnät eller neurala nätverk är det hetaste inom AI och maskininlärning, och användningen ökar kraftigt inom många områden. Vi visar först några exempel på hur neuronnät används. Därefter förklarar vi matematiskt vad ett neuronnät är och hur det tränas eller lärs upp. Kunskaper som då behövs är matriser, gradienter och kedjeregeln för funktionalmatriser från flervariabelanalys (en referens för kedjeregeln är sats 4.4 och de utskrivna matriserna efter satsen, sid. 33–34, i Tomas Sjödins föreläsningsmaterial i flervariabelanalys). Vi diskuterar också fördelar och nackdelar med hur dessa tekniker påverkar individer och samhälle, och etiska problem som kan uppstå.