Homepage
Generaliserade integraler
Låt $-\infty \leq a < b \leq \infty$ och $f(x),g(x)$ vara kontinuerlig på $]a,b[$ nedan.
Definition:
Om det gäller att för $c \in ]a,b[$ så existerar båda gänsvärdena (och är ändliga) $$\lim_{t \rightarrow a^+} \int_t^c f(x) dx, \quad \lim_{t \rightarrow b^-} \int_c^t f(x)dx,$$ då säger vi att $f(x)$ är integrabel i generaliserad mening på $]a,b[$, och definierar $$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \rightarrow a^+} \int_t^c f(x) dx + \lim_{t \rightarrow b^-} \int_c^t f(x)dx.$$ (Notera att detta ger rätt värde ifall $f(x)$ är integrabel i vanlig mening på $]a,b[$ samt att definitionen inte beror på vilket $c$ vi väljer).
Integralen ovan sägs vara generaliserad i $a$ ($b$) om antingen $a=-\infty$ ($b=\infty$) och/eller $f$ är obegränsad i någon omgivning till $a$ ($b$).
Om den generaliserade integralen existerar (med ändligt värde) så sägs den vara konvergent, och divergent ifall den inte gör det.
Generaliserade integraler är linjära: $$\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx \quad \alpha,\beta \in \mathbb{R},$$ i den meningen att om bägge integralerna i högerledet är konvergenta så är även den i vänsterledet det och likheten gäller.
Teori:
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Definition:
Om det gäller att för $c \in ]a,b[$ så existerar båda gänsvärdena (och är ändliga) $$\lim_{t \rightarrow a^+} \int_t^c f(x) dx, \quad \lim_{t \rightarrow b^-} \int_c^t f(x)dx,$$ då säger vi att $f(x)$ är integrabel i generaliserad mening på $]a,b[$, och definierar $$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \rightarrow a^+} \int_t^c f(x) dx + \lim_{t \rightarrow b^-} \int_c^t f(x)dx.$$ (Notera att detta ger rätt värde ifall $f(x)$ är integrabel i vanlig mening på $]a,b[$ samt att definitionen inte beror på vilket $c$ vi väljer).
Integralen ovan sägs vara generaliserad i $a$ ($b$) om antingen $a=-\infty$ ($b=\infty$) och/eller $f$ är obegränsad i någon omgivning till $a$ ($b$).
Om den generaliserade integralen existerar (med ändligt värde) så sägs den vara konvergent, och divergent ifall den inte gör det.
Generaliserade integraler är linjära: $$\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx \quad \alpha,\beta \in \mathbb{R},$$ i den meningen att om bägge integralerna i högerledet är konvergenta så är även den i vänsterledet det och likheten gäller.
Teori:
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2021-02-02