Homogenlösningar och Differentialoperatorer

index

Om

$$p(r)=r^n +a_{n-1}r^{n-1} + \ldots + a_1 r +a_0 = (r-r_1)^{m_1}(r-r_2)^{m_2}\cdot\ldots\cdot(r-r_k)^{m_k},$$ där $r_i \ne r_j$ om $i \ne j$, så gäller att den allmänna lösningen till den homogena ekvationen $$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_1y'+a_0y=0$$ ges av $$y(x)=P_1(x){\rm e}^{r_1 x} + P_2(x){\rm e}^{r_2 x}+\ldots +P_k(x){\rm e}^{r_k x},$$ där $P_j:$a är (eventuellt komplexa) polynom av högst grad $(m_j-1)$.

Det är värt att titta på vad detta säger i fallet att $n=2$. I så fall har vi antingen två enkelrötter eller en dubbelrot, och satsen kan då skrivas på formen: $$y = \left\{ \begin{array}{ll} A{\rm e}^{\alpha x} + B{\rm e}^{\beta x} & \alpha \ne \beta\\ (Ax + B){\rm e}^{\alpha x} & \alpha=\beta \end{array}\right.$$ Det är också värt att notera att om vi har komplexa rötter $\alpha,\beta$ då måste det gälla att $\alpha$ är komplexkonjugat till $\beta$ (eftersom konstanterna i ekvationen är reella).

Alltså är rötterna i detta fall på formen $c \pm id$ och man kan då alternativt skriva den allmänna homogenlösningen på formen $$y = A {\rm e}^{(c+id)x} + B {\rm e}^{(c-id)x} = C{\rm e}^{cx}\cos(dx) + D{\rm e}^{cx}\sin(dx).$$

Differentialoperatorer: $$Dy=y',D^2 y =D(Dy)=D(y') =y'' \ldots$$ Om $$p(D) = D^n +a_{n-1}D^{n-1} + \ldots + a_1 D +a_0,$$ är vår operator, så tittar vi på ekvationen $$p(D)y=y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_1y'+a_0y=g(x).$$

Teori (Komplexvärda funktioner):