Homepage
Riemannsummor*
Detta ingår inte i kursen, men man behöver ha en viss förståelse för det för att förstå hur vi får fram integralformlerna i tillämpningarna nedan.
Definition: Om $a=x_0 < x_1 < x_2 \cdots < x_k=b$ och $x_{i-1} \leq a_i \leq x_i$ för alla $i=1,2,\ldots,k$, då kallas $\displaystyle\, \sum_{i=1}^k f(a_i)(x_i-x_{i-1})$ för en Riemannsumma till integralen $ \displaystyle\, \int_a^b f(x)dx.$
Sats: Antag att $f(x)$ är Riemannintegrabel på $[a,b]$. Givet $\varepsilon>0$ finns ett $\delta$ sådant att $$\left| \int_a^b f(x)\,dx - \sum_{i=1}^k f(a_i)(x_i-x_{i-1}) \right| \leq \varepsilon$$ för alla indelningar $a=x_0 < x_1 < x_2 \cdots < x_k=b$ sådana att $x_i-x_{i-1} \leq \delta$ för alla $i=1,2,\ldots k$, och alla val av punkter $a_i \in [x_{i-1},x_i]$.
Teori:
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Definition: Om $a=x_0 < x_1 < x_2 \cdots < x_k=b$ och $x_{i-1} \leq a_i \leq x_i$ för alla $i=1,2,\ldots,k$, då kallas $\displaystyle\, \sum_{i=1}^k f(a_i)(x_i-x_{i-1})$ för en Riemannsumma till integralen $ \displaystyle\, \int_a^b f(x)dx.$
Sats: Antag att $f(x)$ är Riemannintegrabel på $[a,b]$. Givet $\varepsilon>0$ finns ett $\delta$ sådant att $$\left| \int_a^b f(x)\,dx - \sum_{i=1}^k f(a_i)(x_i-x_{i-1}) \right| \leq \varepsilon$$ för alla indelningar $a=x_0 < x_1 < x_2 \cdots < x_k=b$ sådana att $x_i-x_{i-1} \leq \delta$ för alla $i=1,2,\ldots k$, och alla val av punkter $a_i \in [x_{i-1},x_i]$.
Teori:
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2021-02-01