Partikuläransatser

index

Ekvation: $$p(D)y=y^{(n)} + c_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots+c_1y'+c_0y=g(x).$$

$g(x)$ polynom av grad $m$: Om $k$ är det minsta talet sådant att $c_k \ne 0$ (om $c_k=0$ för alla $k=1,\ldots,n-1$ sätter vi $k=n$) då ansätter vi $$y_p=a_mx^{m+k}+a_{m-1}x^{m+k-1}+\ldots+a_0x^k.$$

$g(x)=q(x)e^{kx}$: Substituera $y_p =z(x)e^{kx}$ och använd förskjutningsregeln för att bli av med $e^{kx}-$termen. Detta ger en ny ekvation för $z$: $$p(D+k)z=q(x)$$ som vi förhoppningsvis kan hitta en partikulärlösning $z_p$ till. Då blir $y_p=z_pe^{kx}$.

Om $g(x)=A\cos(kx)$ (alternativt $g(x)=A\sin(kx)$) fungerar det oftast med ansatsen $y_p=a\cos(kx)+b\sin(kx)$. Notera dock att det kan hända att $\cos(kx)$ är en homogenlösning och då fungerar detta ej.

Resonans: De fall som är stökigast att hantera är fallet då $g(x)$ på något sätt innehåller en homogenlösning till ekvationen. Om $g(x)=q(x)e^{kx}$ som ovan (där $k$ eventuellt är komplext) då kan vi fortfarande substituera $y_p=z(x)e^{kx}$ och använda förskjutningsregeln som tidigare. Detta fungerar bra även om $e^{kx}$ råkar vara en homogenlösning. Men vi kan även råka ut för detta om vi har t.ex. $g(x)=q(x)\cos(kx)$ (alternativt $q(x)\sin(kx)$). Vi kan dock skriva om detta till komplex form: $\cos(kx) = {\rm Re}e^{ikx}$ ($\sin(kx)={\rm Im}e^{ikx}$). Om vi istället hittar en partikulärlösning $w_p$ till ekvationen $$p(D)w =q(x)e^{ikx},$$ då får vi en partikulärlösning via $y_p={\rm Re}w_p$ ($y_p = {\rm Im}w_p$). Notera att detta dock bygger på att koefficienterna i $p(D)$ är reella.

Linjäritet: Om vi har ekvationen $p(D)y=g_1(x)+g_2(x)+\ldots+g_k(x)$, då kan vi hitta en partikulärlösning $p(D)y_i=g_i(x)$ för varje $i$ och sedan sätta $y_p=y_1+y_2+\ldots+y_n$.

Teori:

Presentation

Föregående Tillbaka till översikten Nästa

Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2021-02-10

MAI - Matematiska institutionen

TATA42

Partikuläransatser