Göm meny

Potensserier

index

En potensserie är en serie (funktion) på formen $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n,$$ där $c_n$ är konstanter och $x$ en variabel (så för varje fixt $x$ vi sätter in får vi en numerisk serie).


Konvergensradie:
Till varje potensserie finns ett unikt tal $R$ ( $0 \leq R \leq \infty$) sådant att serien är absolutkonvergent om $|x| < R$, och divergent om $|x|>R$ ($|x|=R$ måste behandlas från fall till fall).


Rotkriteriet: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ är absolutkonvergent om $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1,$ och divergent om $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1.$

Kvotkriteriet: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ är absolutkonvergent om $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1,$ och divergent om $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1.$


Termvis derivering/integrering av potensserier:

Antag att $f(x) = \sum_{n =0}^{\infty} c_n x^n$ har konvergensradie $R >0$. Då har $f(x)$ derivator av godtycklig ordning på $]-R,R[$, och vi har: $$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1},$$ $$\int_{0}^{x} f(t)dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} x^{n+1},$$ $$c_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$ (Alla potensserier ovan har konvergensradie $R$.)

Teori:


Presentation




Presentation




Presentation


Föregående     Tillbaka till översikten     Nästa



Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2021-01-28