Homepage
Numeriska serier
Jämförelsekriteriet:
Om $0 \leq a_k \leq b_k$ så gäller att
$\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ konvergent $\Rightarrow$ $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ konvergent och $\sum_{k=1}^{\infty}a_k \leq \sum_{k=1}^{\infty} b_k$,
$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ divergent $\Rightarrow$ $\sum_{k=1}^{\infty}b_k$ divergent.
Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform:
Om $a_n \geq 0$, $b_n \geq0$ och $$0 < \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} < \infty,$$ då gäller att antingen är båda serierna $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ och $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ konvergenta eller divergenta.
Cauchys integralkriterium
Om funktionen $f : [1,\infty[ \rightarrow [0,\infty[$ är avtagande så är serien $\sum_{k=1}^{\infty}f(k)$ och integralen $\int_1^{\infty}f(x)dx$ antingen båda konvergenta eller divergenta.
Jämförelseserier: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\alpha}}$$ konvergerar om och endast om $\alpha >1$.
Teori:
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Om $0 \leq a_k \leq b_k$ så gäller att
$\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ konvergent $\Rightarrow$ $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ konvergent och $\sum_{k=1}^{\infty}a_k \leq \sum_{k=1}^{\infty} b_k$,
$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ divergent $\Rightarrow$ $\sum_{k=1}^{\infty}b_k$ divergent.
Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform:
Om $a_n \geq 0$, $b_n \geq0$ och $$0 < \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} < \infty,$$ då gäller att antingen är båda serierna $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ och $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ konvergenta eller divergenta.
Cauchys integralkriterium
Om funktionen $f : [1,\infty[ \rightarrow [0,\infty[$ är avtagande så är serien $\sum_{k=1}^{\infty}f(k)$ och integralen $\int_1^{\infty}f(x)dx$ antingen båda konvergenta eller divergenta.
Jämförelseserier: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\alpha}}$$ konvergerar om och endast om $\alpha >1$.
Teori:
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2020-11-11