Homepage
Ordokalkyl och entydighetssatsen
Antag att $f(x),g(x)$ är funktioner definierade i en omgivning till punkten $a$. Om det i någon omgivning till $a$ finns en begränsad funktion $b(x)$ sådan att
$$f(x)=b(x)g(x)$$
gäller i denna omgivning, då säger vi att $f(x)=\mathcal{O}(g(x))$ då $x \rightarrow a$.
Det vill säga i varje steg i en uträkning betecknar $\mathcal{O}(g(x))$ en funktion på formen $b(x)g(x)$ där $b(x)$ är en begränsad funktion i någon omgivning till $a$. Poängen är att det i många problem inte spelar någon roll exakt vilken funktion $b(x)$ är, utan bara att om t.ex. $g(x)$ går mot noll då $x$ går mot $a$ så går upp till någon begränsad faktor $\mathcal{O}(g(x))$ lika fort mot noll.
Oftast är det $a=0$ vi kommer vara intresserade av, och $g(x)=x^k$ för något heltal $k$ (men det finns undantag då vi jobbar med sammansatta funktioner). Om det är klart vilken punkt $a$ som avses brukar man bara skriva $f(x)=\mathcal{O}(g(x))$.
Dessa räkneregler är bland andra enkla att verifiera:
Notera att det sistnämnda betyder att vi i en summa bara behåller "den sämsta" ordotermen och kastar bort övriga. En stor varning när det gäller ordokalkyl är att likhetstecknet blir enkeltriktat. T.ex. gäller $\mathcal{O}(x^3)=\mathcal{O}(x^2)$ men $\mathcal{O}(x^2) \ne \mathcal{O}(x^3)$. Vi får alltså i en uträkning aldrig hoppa från något som är sämre till något som är bättre.
Entydighetssats för Taylorutvecklingar:
Om $q(x)$ är ett polynom av högst grad $n$ sådant att $f(x)-q(x) = \mathcal{O}((x-a)^{n+1})$, då är $q(x)$ Taylorpolynomet av ordning $n$ till $f(x)$ i $a$.
Teori:
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
- $f(x)= \mathcal{O}(f(x))$
- $f(x)=\mathcal{O}(g(x))$, $g(x)=\mathcal{O}(h(x)) \Rightarrow f(x) = \mathcal{O}(h(x)),$
- Om $b(x)$ är begränsad gäller $\mathcal{O}(b(x)g(x)) =b(x)\mathcal{O}(g(x)) = \mathcal{O}(g(x)),$
- $f(x)= \mathcal{O}(g(x))$ så gäller $\mathcal{O}(f(x))+\mathcal{O}(g(x))=\mathcal{O}(g(x)).$
Notera att det sistnämnda betyder att vi i en summa bara behåller "den sämsta" ordotermen och kastar bort övriga. En stor varning när det gäller ordokalkyl är att likhetstecknet blir enkeltriktat. T.ex. gäller $\mathcal{O}(x^3)=\mathcal{O}(x^2)$ men $\mathcal{O}(x^2) \ne \mathcal{O}(x^3)$. Vi får alltså i en uträkning aldrig hoppa från något som är sämre till något som är bättre.
Entydighetssats för Taylorutvecklingar:
Om $q(x)$ är ett polynom av högst grad $n$ sådant att $f(x)-q(x) = \mathcal{O}((x-a)^{n+1})$, då är $q(x)$ Taylorpolynomet av ordning $n$ till $f(x)$ i $a$.
Teori:
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2021-01-19