Homepage
Generaliserade integraler
Jämförelseprincipen:
Om $0 \leq f(x) \leq g(x)$ och $g(x)$ är generaliserat integrabel på $]a,b[$ då gäller att även $f(x)$ är generaliserat integrabel på $]a,b[$ med $$0 \leq \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x) dx.$$
Jämförelseprincipen på gränsvärdesform:
Antag att $f(x),g(x) \geq 0$ och att integralerna $\int_a^b f(x) dx$ och $\int_a^b g(x) dx$ båda bara är generaliserade i $b$. Om $$0< \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} < \infty$$ då gäller att antingen är båda integralerna konvergenta eller divergenta.
(Motsvarande gäller om integralerna endast är generaliserade i $a$ om vi byter till $\lim_{x \rightarrow a^+}$.)
Jämförelseintegraler: $$\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}}dx$$ är konvergent om $\alpha < 1$, och divergent annars.
$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}dx$$ är konvergent om $\alpha > 1$, och divergent annars.
Teori:
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Om $0 \leq f(x) \leq g(x)$ och $g(x)$ är generaliserat integrabel på $]a,b[$ då gäller att även $f(x)$ är generaliserat integrabel på $]a,b[$ med $$0 \leq \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x) dx.$$
Jämförelseprincipen på gränsvärdesform:
Antag att $f(x),g(x) \geq 0$ och att integralerna $\int_a^b f(x) dx$ och $\int_a^b g(x) dx$ båda bara är generaliserade i $b$. Om $$0< \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} < \infty$$ då gäller att antingen är båda integralerna konvergenta eller divergenta.
(Motsvarande gäller om integralerna endast är generaliserade i $a$ om vi byter till $\lim_{x \rightarrow a^+}$.)
Jämförelseintegraler: $$\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}}dx$$ är konvergent om $\alpha < 1$, och divergent annars.
$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}dx$$ är konvergent om $\alpha > 1$, och divergent annars.
Teori:
Presentation
Presentation
Presentation
Presentation
Föregående Tillbaka till översikten Nästa
Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2021-02-01