Homepage
Guldins regler
Tyngdpunkter:
Vi lämnar den djupare diskussionen om detta till kursboken.
Ett fall vi dock kan nämna är att om en plan kropp har konstant densitet och är på formen $$D= \{(x,y): a \leq x \leq b, f(x) \leq y \leq g(x)\},$$ då ges tyngdpunktens $x-$koordinat $x_t$ av: $$x_t = \frac{\int_a^b x(g(x)-f(x))dx}{\int_a^b (g(x)-f(x))dx}.$$ Guldins regler: Dessa är främst användbara om vi har en kropp som vi känner till tyngdpunkten för, som t.ex. en cirkel eller cirkelskiva. Notera också att "längd/area"-densiteten nedan är 1.
Föregående Tillbaka till översikten
Vi lämnar den djupare diskussionen om detta till kursboken.
Ett fall vi dock kan nämna är att om en plan kropp har konstant densitet och är på formen $$D= \{(x,y): a \leq x \leq b, f(x) \leq y \leq g(x)\},$$ då ges tyngdpunktens $x-$koordinat $x_t$ av: $$x_t = \frac{\int_a^b x(g(x)-f(x))dx}{\int_a^b (g(x)-f(x))dx}.$$ Guldins regler: Dessa är främst användbara om vi har en kropp som vi känner till tyngdpunkten för, som t.ex. en cirkel eller cirkelskiva. Notera också att "längd/area"-densiteten nedan är 1.
- Antag att det plana området $D$ med area $A(D)$ och tyngdpunkt $\overline{r}_t$ ligger helt och hållet på en sida om linjen $L$ i $\mathbb{R}^2$. Då ges volymen av den kropp som uppkommer då $D$ roteras ett varv runt $L$ av:
$A(D) \cdot$ (längden på $\overline{r}_t:$s väg vid rotationen). - Antag att den plana kurvan $\Gamma$ med längd $L(\Gamma)$ och tyngdpunkt $\overline{r}_t$ ligger helt och hållet på en sida om linjen $L$ i $\mathbb{R}^2$. Då ges arean av den yta som uppkommer då $\Gamma$ roteras ett varv runt $L$ av:
$L(\Gamma) \cdot$ (längden på $\overline{r}_t:$s väg vid rotationen).
Föregående Tillbaka till översikten
Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2020-11-11