Göm meny

Guldins regler

index

Tyngdpunkter:
Vi lämnar den djupare diskussionen om detta till kursboken.

Ett fall vi dock kan nämna är att om en plan kropp har konstant densitet och är på formen $$D= \{(x,y): a \leq x \leq b, f(x) \leq y \leq g(x)\},$$ då ges tyngdpunktens $x-$koordinat $x_t$ av: $$x_t = \frac{\int_a^b x(g(x)-f(x))dx}{\int_a^b (g(x)-f(x))dx}.$$ Guldins regler: Dessa är främst användbara om vi har en kropp som vi känner till tyngdpunkten för, som t.ex. en cirkel eller cirkelskiva. Notera också att "längd/area"-densiteten nedan är 1.
  • Antag att det plana området $D$ med area $A(D)$ och tyngdpunkt $\overline{r}_t$ ligger helt och hållet på en sida om linjen $L$ i $\mathbb{R}^2$. Då ges volymen av den kropp som uppkommer då $D$ roteras ett varv runt $L$ av:

    $A(D) \cdot$ (längden på $\overline{r}_t:$s väg vid rotationen).


  • Antag att den plana kurvan $\Gamma$ med längd $L(\Gamma)$ och tyngdpunkt $\overline{r}_t$ ligger helt och hållet på en sida om linjen $L$ i $\mathbb{R}^2$. Då ges arean av den yta som uppkommer då $\Gamma$ roteras ett varv runt $L$ av:

    $L(\Gamma) \cdot$ (längden på $\overline{r}_t:$s väg vid rotationen).


Föregående     Tillbaka till översikten    



Sidansvarig: Tomas Sjödin
Senast uppdaterad: 2020-11-11